Представляющие свойства систем сжатий и сдвигов функций

• Автор: Терехин, Павел Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 109 с.

ВВЕДЕНИЕ
Отправной точкой в исследовании представляющих свойств систем сжатий и сдвигов функций (или систем функций-всплесков1) следует считать работы А. Хаара [1 - 4]. В этих работах, в связи с проблематикой теории ортогональных рядов, Хааром была построена система функций, занявшая впоследствии видное место в террии представления функций рядами и сравнимая по оказанному воздействию на развитие теории функций с тригонометрической системой. Система Хаара, как известно, имеет вид
(1, 2кпх(2к* - у)}, где параметр к пробегает все неотрицательные целые числа, параметр у принимает значения 0,2к - функция 1 тождественно равна единице на отрезке [0, 1] и, наконец, функция %(/) задаётся равенством
х(0=

1,є[0, -), -ІДефі),

ОД г [0,1).
Здесь имеется различие по сравнению с определением, данным Хааром: в точках разрыва функции системы Хаара, согласно классическому опреде-
1 Согласно широко распространённой, но окончательно не установившейся терминологии, всплеском называют функцию, система сжатий и сдвигов которой обладает теми или иными свойствами (как правило, образует ортонормированный базис).

лению, задаются иначе. Такое различие весьма существенно при рассмотрении рядов Фурье-Хаара от непрерывных функций (см. П.Л. Ульянов [5]), но, очевидно, это различие не оказывает никакого влияния на свойства системы Хаара в пространствах с интегральной метрикой.
Отметим следующие хорошо известные свойства системы Хаара: эта система ортонормирована на отрезке [0, 1] (Хаар [2]), является базисом в любом пространстве Ьр[0,1], 1 < р < со (Шаудер[6]), причём при 1 < р < со
безусловным базисом (Марцинкевич [7]). Дальнейшие свойства системы Хаара отражены в обзорной статье Б. И. Голубова [8].
Другой классической системой сжатий и сдвигов является система Фабера-Шаудера (1, /, ф0 (2 / - у')}, порождаемая функцией
В работе Шаудера [9] было введено понятие базиса функционального про-
гих систем определённого типа) образует базис пространства непрерывных функций С[0,1]. Как заметил Б. И. Голубов [8], задолго до Шаудера по существу тот же результат был получен Фабером [10]. Из дальнейших результатов о свойствах системы Фабера-Шаудера упомянем работы Чисель-ского [11], П. JI. Ульянова [12, 13] и Т. Н. Сабуровой [14].
Следующие примеры систем функций, подобных системам Хаара и Фабера-Шаудера, были рассмотрены K.M. Шайдуковым [15]. Именно, в работе [15] показано, что системы функций {1, t, ф,(2*7- у)}, і = 1,2, образуют базис пространства С[0, 1], где
странства и показано, что система функций (1, t, ср0(2Аґ- у)} (среди дру-

и ф2(0=(ф1))2- Затем в работе 3. А. Чантурия [16] были получены условия базисности в пространстве С [0,1] общих систем функций вида {1,/, ф(2-у')}, где ф(?) - непрерывная функция с носителем на отрезке
1 Г* 1 Г1 "1
относительно точки £ = — Т. е. ф V t = ф
2 2 ) )
удовлетворяющая условию ф
— 1 = 1. Условия базисности в [16] сформу-
лированы в терминах второй разности функции ф(?):
Др(?) = ф(?)-2ф(/ + й)+ ф(? + 2/г), к>0, 0 Подход к обобщению систем Хаара и Фабера-Шаудера, развитый в работах 3. А. Чантурия и Т. Н. Сабуровой, находит параллели в теории тригонометрических рядов, где на определённом этапе возникла необходимость рассмотрения систем функций вида (ф(их)}. Такие системы являются естественным обобщением тригонометрической системы. Их изучение связано, в первую очередь, с работами Е. М. Никишина [24 - 27] и предшествующими им работами Каца, Салема, Зигмунда [28], К. Ф. Ма-лявко [29, 30] и В. Ф. Гапошкина [31, 32]. Системы сжатий и сдвигов

Так как fa=Q)Ga, то Pn{f)= 0(ф)Рп(G). Поскольку Q(\i) - изометрический оператор, то последовательность полиномов Pn(G) фундаментальная:
II Рп И - Рт (с?) II = II Р„ (/)- Рт (/) Н'0, п, т 00,
а значит, сходящаяся:
h = lim Pn{G). (1-13)
П—>СО
Отсюда находим h = Q(\i)h ефЯ. Включение М(/)сфЯ доказано. Докажем обратное включение.
Пусть йед/Я, т. е. h = Q(\i)h для некоторого вектора h еН. Так как G - внешняя функция, то найдётся последовательность полиномов Pn(G) такая, что выполняется соотношение (1.13). Ввиду изометричности оператора выполняется также соотношение (1.12). Следовательно, heM(f). Включение |/ЯсМ(/) доказано, а вместе с тем установлено равенство М(/)=|/Я.
Таким образом, фЯ = М(/)= vj/tf. Согласно теореме 1.3 имеем ф = к-ф, | к ( = 1.
Наконец, находим
бЫ(к F - G) = ß(K ф)Я - Q(xV)G = ß( = Q(f)e~Q(f)e = О, откуда G-K.-F или F = к G.
Теорема доказана.
Рассмотрим оператор
W = 1~V2(V0+V1).
Этот оператор изометрический: