Исследование некоторых классов интегралов в пространствах C1 и C2 и их приложения к решению краевых задач

• Автор: Савина, Светлана Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 136 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ТИПА КОШИ
§1.1. Об областях аналитичности и других свойствах некоторых классов функций, представимых обобщенными интегралами типа
Коши
§1.2. О некоторых применениях обобщенных интегралов типа Коши... 42 §1.3. Разложение интегралов некоторых классов в обобщенностепенные ряды
Глава II. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТИПА ТЕМЛЖОВА-
БАВРИНА И НЕКОТОРЫЕ ИХ СВОЙСТВА
§2.1. Интегралы типа Темлякова-Баврина и их основные свойства
§2.2. Исследование аналитичности интегралов некоторых классов в
пространстве С2 и их свойства
§2.3. О поведении интегралов одного класса на множестве
бесконечно удаленных точек пространства С2
§2.4. Постановка и решение краевых задач в классе функций, представимых обобщенными интегралами типа Темлякова-Баврина
Заключение
ЛИТЕРАТУРА

Введение
Важную роль в одномерном и многомерном комплексном анализе и их приложениях играют интегральные представления аналитических функций. Интегральные представления аналитических функций одного и многих комплексных переменных исследуются в работах JI.A. Айзенберга, И.И. Баврина, В.И. Боганова, A.B. Латышева, Г.Л. Луканкина и других авторов и имеют различные теоретические и практические приложения, например при решении пространственных краевых задач Римана. В последние десятилетия описан широкий класс задач квантовой механики, теории вероятностей и математической физики, которые приводятся к краевой задаче Римана.
Начало теории интегральных представлений в нашей стране было положено A.A. Темляковым в 1948 году. Им были установлены два интегральных представления для функций двух комплексных переменных, аналитических в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей, которые известны как интегральные представления Темлякова I и II родов.
Дальнейшему развитию теории интегральных представлений способствовал разработанный И.И. Бавриным [9; 12] операторный метод, с помощью которого был решен ряд важных задач, в том числе получены общие интегральные представления, являющиеся обобщением классической интегральной формулы Коши и обобщенные интегральные представления для случая п {п > 2) комплексных переменных.
На основе интегрального представления, полученного И.И. Бавриным
[13]:
(0.1)

и = rz + (l~r)z0,

геС, С - произвольная выпуклая область пространства С, для которой справедлива интегральная формула Коши, Г - ее граница,/(У - произвольная функция, аналитическая в С и непрерывно дифференцируемая в замыкании (?, г0 — произвольная фиксированная точка из (Я г - вещественный параметр, определенный на отрезке [0; 1 ], ф е у— произвольное действительное число, у > 0, оператор Ьу имеет вид
A.B. Гуляевым в работе [29] был введен в рассмотрение обобщенный интеграл типа Коши:
где (р{д) была определена как произвольная, непрерывная на окружности Г = {ф: || = 1},. удовлетворяющая на Г условию Гельдера-Липшица с показателем v(0 < v < 1) функция.
A.B. Гуляевым [29] было доказано, что исследуемые интегралы обладают рядом свойств, которые существенно отличают их от интегралов типа Коши. Они являются непрерывными на всей комплексной плоскости, аналитическими в области D = {z е С: Ы < 1} и не являются аналитическими,
вообще говоря, в области D~ - {z е С :|z| > 1}. С помощью линейных дифференциальных операторов A.B. Гуляевым [29] установлена связь этих интегралов с интегралом типа Коши, с его плотностью, а также решены некоторые дифференциальные уравнения в частных производных.
Одновременно с A.B. Гуляевым в работе [65] A.B. Нелаевым был введен в рассмотрение интеграл более общей природы
LrJf(z) = yf{z) + (z-z0)-

2°. Функции Еа(г), определяемые интегралом (1.22), всюду на
комплексной плоскости С связаны с соответствующим интегралом типа
Коши следующим соотношением:
„ . дРа(г) _дРа(г)
Г«(*) + г—|— + 2 “ = а¥ (аг).

3°. Функции Ра(г), определяемые интегралом (1.22), в области неаналитичности В2 удовлетворяют обобщенному уравнению Коши-Римана:
d2Fa(z) _д F (z) . ÔFa(z) : £lL- + z-— + (7 + 1)—
6z5z 5z dz

4°. Вещественная и мнимая части функции Fa(z), определяемой интегралом (1.22), в области В2 представляют собой обобщенносопряженные квазигармонические функции.
5°. Функции Fa(z), определяемые интегралом (1.22), удовлетворяют в области В2 соотношению:

Свойства 1° — 5° доказываются аналогично свойствам функций (1.1).
Теорема 1.1.3. Функции, Ffl(z)определяемые интегралом (1.25), где
плотность (р{<5) определена на окружности Г={g : | 1, а константа (3 удовлетворяет условию 0 1) аналитическими в областях Е = {z е С : |z| < 1} и Е2 = {z е С : |z| > —} ;

2) неаналитическими, вообще говоря, в области Е{ = {г е С: 1 < г < —};
3) непрерывными на всей комплексной плоскости С ;
4) обращающимися на бесконечности в нуль.