Структурные и геометрические характеристики множеств сходимости и расходимости кратных разложений Фурье

• Автор: Лифанцева, Ольга Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 112 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. СТРУКТУРНЫЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОЖЕСТВ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ, ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ЧАСТИЧНЫЕ СУММЫ КОТОРЫХ РАССМАТРИВАЮТСЯ ПО НЕКОТОРОЙ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Введение
§ 1. Слабая обобщенная локализация почти всюду для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются

по некоторой подпоследовательности

§ 2. О необходимых условиях справедливости слабой обобщенной локализации почти всюду для кратных рядов Фурье функций из Ьр,

§ 3. Слабая обобщенная локализация почти всюду для кратных рядов

Фурье функций из Ь

ГЛАВА II. КРИТЕРИЙ СПРАВЕДЛИВОСТИ СЛАБОЙ ОБОБЩЕННОЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ ПОЧТИ ВСЮДУ ДЛЯ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ С "Д-ЛАКУНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ЧАСТИЧНЫХ
СУММ"
Введение
§ 1. Поведение подпоследовательностей частичных сумм кратных рядов
Фурье некоторых функций
§2. Критерий справедливости слабой обобщенной локализации почти всюду для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности
ГЛАВА III. СТРУКТУРА И ГЕОМЕТРИЯ МАКСИМАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ СХОДИМОСТИ И НЕОГРАНИЧЕННОЙ РАСХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ С Чк-ЛАКУНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ЧАСТИЧНЫХ СУММ"
Введение
§ 1. Максимальные множества сходимости и неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье с " Д-лакунарной последовательностью частичных сумм"
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
1. Рассмотрим ТУ-мерное евклидово пространство Кдг, элементы которого будем обозначать ж — (жх
х = (ж? 4 Ьж)1/2-
Введем множество ЖЛ'. йл С Мл?, — множество всех векторов с целочисленными координатами, определим множество — {(тех,
Пусть 27Г-периодическая (по каждому аргументу) функция / € Ь(ТМ), где Тл = {ж £ : —7г < х < 7г, ] = 1
тригонометрический ряд Фурье:
/(ж) ~ Е ске*кх
Рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда
5„(Ж;/)= Е Е с(кХ)’ (0Л)
|*1|<П1 |£м|<"лг
где га — (гаьпдг) е 2.
Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С Т, р21 > 0 (д = р,дг — Димерная мера Лебега), и пусть /(ж) = 0 на 21.
В диссертации изучается поведение на 21 частичной суммы (0.1) при га -4 оо (т.е. пипп,- —> сю) в зависимости от гладкости функции /(ж), от структурных и геометрических характеристик множества 21, а также от ограничений, накладываемых на компоненты Пх

множество W вида (1.2) и функция f Е LO0(TiV) такие, что f(x) = 0 ка И7' и для любых к последовательностей натуральных чисел {п }, j £ Jк, > оо при оу -7 сх>, справедлива оценка
lim |5n(a)f7.i(a:; /)| = +оо почти всюду на ТУ0.
aj-xxirfZJk, I
пj —>oo,j&MJf.
В § 2 настоящей главы мы изучаем вопрос о необходимых условиях справедливости СОЛ для кратных рядов Фурье с " Jj,-лакунарной последовательностью частичных сумм" на множествах W вида (1.2) и доказываем следующие теоремы.
Фиксируем произвольное J)c С М и обозначим
72 = 72Ш = max j, 7l = = . max i- (1-5)
jeMjk ]6M(jk LK72})
Далее выберем произвольное a, — ir < a < tt, и положим
ТУг71 Ж72(a) = x [-7г,тг]_3 x [—7Г, a], (1.6)
где сегмент [—7г, а] может принадлежать любой из осей Охц I £ MJk, I ф 7ь I ф 72. Положим
Ж,= 1J WXsXt[jWXnXJa), (1.7)
s где WXsXt, s,t € М Jk,s < С s ф 7i, определены в (1.1). Очевидно, что множество ТУа — "крест из lV-мерных брусков", у которого один из "брусков" — "неполный".
Теорема I.III. Пусть N > 3 и Д, С М, 1 < k < N — 2. Для любого а, —я < а < 7Г, существуют функция f = fa € С(Т№) и множество Wa вида (1.6) - (1.7) такие, что f(x) = 0 на Wa и для любых к последовательностей натуральных чисел {п}, j Е Jk, —1 00 при ay —» 00, справедлива
оценка
lim |5п(а)ш(ж; /)| = +оо почти всюду на Т
nj-*oo,jeMJk