О последовательностях полиномов Дирихле,равномерно ограниченных по росту

• Автор: Иванов В.П.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1950
• Место защиты: Горький
• Количество страниц: 133 с.

В В, Е Д В Я Э В.

' Если ПООледйВй-релЫяОСТЬ ПО№ЖШрЬШЦ чисел Я;-

^ /:.у - 1,2,* •*/ удовлетворяет уСдОВШ*. ,1/ Я *,■ Ф Я л Г* ») }

{ 2/ 0 *- А , Л ^ ^ ■ • ■ &и, Я1 ~ Со д

• '" <>*•

И/ —Г— - сС ■ , ПрйЧёвд о 4- оС 4- <сч^

ПОСледОВаТвЛЬНОСТЬ %Й11ЦЙВ £ /у = 1,4,3,. • »/ подле в клеосе фуакцяй - $ {/) .регулярмьх в круге ■/£• I ^ 57 ос # т*е* каждая такая функция может быть представлена в круг©

|Й| ^77об - Ьаь Предел ПООдбдрВ&ТФЛЬйОСТЙ ШлИяОИОВ

Дирихле

^ / К — 1>£,3,« ••/ % / X
' ;*1
' Поэтому о свойствах предельных функций { ю ,опре~ делённых в крут 1& I 'пределами родящихся последо-
' Л <
! Евтельнэитей /1/* оказать ничего М©ЛЬЭЙ,кроме ТОГО,что НЕЩДйЯ
иё них регулярна в. круг©: / & I *!-'. Более того , одно и, та же функций д/ (&) ,регулярная в круг© Зь(
может быть представлена раяличиши,сходящимися, к «ей иооледов стельностями полиномов /1/,причём,вообще говоря,последовательности столбцов 'ДреуГОлЬйЭЙ таблицы КОЭфйЦЯ©пТОВ полиномов /х/ но СХОДЯТ с и, а если и сходятся /что всегда моя** ар осуществить путем подбора по о т • др »а т е ль но о те? /Х/^то их пределы,т.©.»©личика &>и Сю,у] 1 ,зависят от выбора
после доВегеЛЬНООТЦ /1/.
' Чтобы получить какой-то ыгаоо регулярных функций, определенных пределами срсОдящихся последовательностей полиномов /1/,такой .чтобы каждая функция етого класса обладала
некоторыми свойствами .которые были бы характерными, для этого класса и,которые отличали бы каждую функцию этого-клаооа от любой другой регулярной функции,нужно,очевидно, Заложить некоторые разумные ограничения либо на область ^ ,в которой функции £ (%) определены пределами последовательностей'полиномов /1/,либо на сомк пооледова те яъности /1//либо ещё какие -то другие ограничен^
/1/ & ,
А.©.Леонтьев .накладывая на область у определенное ограничение .получил широкда класс регулярных в области - функции ^ определённых В; этой области пределами ' равномерно еходЩ^бя подиномо® /1/ и обладающих некоторыми в ажнкш1.-свойствами. ■ ''
Шенно .если потребовать, что бы последовательность /1/ равномерно сходилась к-регулярной функции £(Щ- в ограниченной области .вмещающей в себя ,вертикальный отрезок длины 2 .Геб. - ,то такая пооледрввтельноать полиномов Дирихле,а,значит и сама функция ^,обладает рядом замечательных свойств,из которых некоторые состоят в оде дующем: V.: ■ V;
1. Существуют пределы коэффициентов Сю Л при ;
2. эЯ-и пределы не. зависят от (&) • . ,т.е.,еоли две пооле-

О 'Г7 X; а.
дователысоти. вг 2_. в»-;} € . и
Л АуА Н : <*
лР:1о;.(*) = / ■ С^ €• оходятоя в области °• к одной
■ $=)' ’■ '• 1'и
и, той же функции. ,то ■ (м* £>к] - С^;
Д— О3 К -*©о
^ = 1,2,3,.../; в частности,если ^ (*) = 0 , то
/ ^ » = : 1,2,. 0ТО. СВОЙСТВО КОЭфИЦИёнТОБ говорит о том,
"Г, 7*1
что система 16 [ по отношению к выдешгтому классу регулярных фуньцш ■ является усиленно линейно
■V . ■ 1.7.15/ ■/ ;
независимой еттемои ; ч
3. если для двух последовательностей полиномов Дирихле
имеют место равенства ■
^ Сй, = -бйи /7 = 1,2, з,.../ , то предельные
}0-* о*> ’ »-*■ функции совпадают,т.е . = ^ (1) ;в частнэети,если
С-ю^ » 0 = 1,2,3,.../,то £{Ъ)=0 ;
}С-* СХ5
4. выделенный:, класс регулярных функций I {%/• обладает свойством единственности но отношению К ПОЛНОЙ усилен-"
последовательности ^ И'1^ (.Ъ)j определяют одну
но линейно нееависшиой. системе, ( б {■ ,т.е.,две
ту ж© регулярную функцию $ (Ъ) тогда и только тогде,когда
Ас,,) = С к,) / ; = 1,2,3,.../ ;
1с -* СХР
5. ка^й функции ^(1) этого класса соответствует свой, и притом единственный-,ряд Дирихле
00 ' / “ ■ ■
Ч* ; /V

6. этот класс регулярных функций чр (Ъ) - шире,чем клоос
регулярных функции1,определённых соответствующими СХОДЯ— щимиоя рядами. Дирихле,значит
Г* 7*1 , • ■- г
7. система О г -для указанного класса регулярных функций, является базисом в широком смысле слова. •
Если последовательность 4 А« V такова* что

ç • - • ■ '
.. і
gpàBwHEaH получеияш результат о /8/,вяьз и получим :
І^Ду' ~ Д Vd = 1,2,3,...
Следствие 1. -gfc'vÜK .j'fîfej—- "Ч'С'іЬ)' ,TO •' '
'^ : t'A = 1,2,8,...
/И-*• ao V /к — «» y
/Следствие 2. Если,з? частности <^(іг) = 0 ,то "
ci,'-0 з,...).
Лт —оо <7 ■ ’
:вто вытекает ив того,что для -фикции
/которая принадлежит клаеоу /Гс^ЛЛА) j А•&J= о / Дх — 1,д,я,»•«/,т«є• CLfcj С7 »
Следствие à. Поседев ителыю от ь в класом S0(/,y
является уО;идейке ЛИнвДнО ЯвдвВИСИМОИ СЙСТЭШл. ■
ї;ШШМ 8..! /обратив^ ' теорема- ?/.Еєлй £7^ / - 7'
‘ ■ 4 А->-Ьо '/ “
/ j = 1,2,3 » • • •/ »10 ПО всей иЛОСКОСТИ Д&) «
Доказательство. При ^ 1. имеем :
оЛ^-е+/ {&»)— ^ё+/ с*=> ÀI & *
^ИкОйрУг, /в JÆ .усічем Л ЯК В 0ЄОкОпЄЧнОСТЬ ,мы '^юлy-
;^№ 7 . Л/д*
ooCyÿ** (^Т~ 00 t^(f) ^ •='
■ /=/ *г~/Л >.* ■ -■
— YL cj ^*+f, (^à)є — Д •
Значит :
oà((pj— &S*. -fi/e. (i:J =
К-*-Ъъ te ~*.b-o
Следствие Л.Если /*y f J ~ 1 >
То ай ВОЄН ПЛОСКОСТИ (pfëj =; 9b'A&J •
Следствие'Й. ІІСлй "В Частности у -^7
.. "Г "Д /, /»»-»■ с
/ ^ — і »Ц » s» * • * / і і® & *