Применение прямых вариационных методов к решению краевых задач и задач о собственных значениях. Минимальные свойства областей.

• Автор: Ходырева В.М.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 112 с.

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЯМЫХ ВАРЗАШОНШХ МЕТОДОВ К РЁ'ПЕШ© КРАЕВЫХ ВАШ й ЗАДАЧ О 'СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ. ШЩШШШШЕ СВОЙСТВА ОБЛАСТЕЙ . - '
—пр—."Г»*

ЛЛЛЛ5 н ж £ >

Работа состоит из 3-х глав .В первой г дав®' проводите» доказательство разрешимости задала Дирихле, ©бобцешой (

в смыслё Куранта / (Ч)5 г д. уй . /для дифференциального

уравнения

Лкьь - ~?Сх,у) (») ,

в задачи о собственных еяашншх ^дифференциального уравнения

д*и, - ли, -•=* О (к-#) ■ |

йрн чётном к -в уравнений

д*ц. -+- А и. ~ о (*-*-■*■)

ври нечётном к ; здесь-всюду
д«и » г^ . ■ :
^ : сп.. (К~ ”0/ л./ ;
Уравнений 7«;,^*), б<*.-*> рассматравайтеЯ в открвтых огр-л- (
птвшшх областях ^ плоскости ХУ с границами Г
1а функЕси© -г Х/у налагаемся условие непрерывности, в 1ЗЗГ |
в кусочно- непрерывной днфферешшруеГИОСТ^Н в ЗУ
' ■* . •
Метода,, пр именаелке. при »том ,опирается на нетодн, I
аспользоэанш б.Л.Соболева / «/ , Курантом / 7> пп. и< /, грпдрихсои /Я1 /.
С.Л.- Соболев / 16 / Доказал в&раацисштши методами *
существование и единственяость решения задачи Дирихле,
^формулированной для полигармонического уравнения
д<и, ~ о
рассматриваемого .в ^ -мерной области- X, граница ^ которой мозкет состоять из многообразий разной размершелй*
Г = 4-, ** ;

‘ . к |

Курант / 7 , a задачи о себстве
- Ц. - • ■ : ■ і
двальшх уравнении.
Эйлера для некоторых квааратячшх интегралов , распространённых по расеыатрнэа амым открытым ©гранил «енші областам.
фрНДрИХв' /Zi/ Пр:Ж<Ш5Л ВйрйаЩГОЕНЫ© метода де» докг- ,1 оательства разрешимости некоторых краевых задач и задач 1 ! о собственных значениях, связашшх с вопросами © равнове- J сей' и колебаниях упригоа плаэтпйЕИ и отшсяядахоа к дяФ- j ' ферешдиалыаш уравнениям четвёртого порядка ©ллштичвек©:^ го типа, раоекатриваеашм в областях , границы которых ©бляЦ дают аепрершшог вращающейся касательной и непрерывно* кривизной
В главе второй , § 1 - па основании результатов главк первой проводятся аахокдеш© форма: области ,. для которой 1 первое собственное значение . дяфферешиального уравнения j А * / или А**./ Двлаетеа нашопьшм, ©ела для сравнен«#! допускаются области й заданной длиной контура, при ©том 1 . ис пользу ©то ядабтод Куранта , лржелетяй т В анаяогачыоё 4 задаче для: уравнений - ’ •.
A 1А, -+X U
/ем. Йурамт 5/ , причём оршевенш метода-Куранта оказывает^ ся во змозрЕШ благодаря введэяпю со ответе твуадах Функцио -ф налышх " хгроотранст в и обобщённому определению перво«© ё ■ собственного, значения уравнений-/-* * / >/«» « / с по- 5 мощь©'этих пространств

— .. i.v.T i«»*.м
' -42-
;■ § s. .■хлрак^Р'Пшш;шш .-g тшш.mosmiK. ■ ]
■ ■ ■ :■:. ■. - " ■■ :■. - i * ■ " ' /, ■. ' ,
,.- В случае двух независимых пвремевшх в отношении ха
рактера приблиаенш функции И к краевым значениям мокзш?
■ ^' - ■' * f ' " ■ ' # . ’ • ф
получить более: точный результат до сравнений сусловием , % чтобы И-^ или W. содержалось в Д * .Ммезно ,в случае двух -•назавпсжшх переменнш: аз условия дркнадлеаэееуи функции ii-Д1
к Добудет следовать »чао разности
г<~е :"^Сц~8) ЭС-м-а) 7)гСЦ-яЗ ' ^КМС-и-_з) а.'3 '3.x... 5 3 Зх2- г ^ик-'
ИЛИ • ■"'■
«■■. :ь - - ^ц. ги, - 1г.ч
v J Ъу 5 *>**■• ’« 3 i/'1
дал задачиД о собственных значениях: »действительно стремят ся к нулю* когда точка г»У. области *5 невгргшвчшне пр иблйнае тел* гравице
. Итак,остановимся на случае двух независимых переменшх^И
‘ * :■-■■'■■■. . , - . .'1i
При эточ нужно сделать, некоторые дополнительные огвятемш
» ' ' ■ ■ , ч'.. - " ' . •/ '‘•‘.I
шш относительно характера, расшатриваешнс граничных точ< так. наприм ер »нельзя ожидать»- что -функция U и её производив^ .•порядка 4К -Т. будут принимать заданше значения! в. иволирсда ’ вавдах граничнж точках »т.н. в случае изолированной граничной точка речь вдет об "устранимо!: "особенности .Кроме foro,равномернее, точечное ospemmm функции ш её первно^ производных х граничшм дшшш необходимо требует известную гл .дкость граниш и краевых данных Лак потребуем.,
- ■ о
чтобы : 1/ граница Г области ^ бала простой замкнутой гашд** «ой кривой »аадаиной уравненx~%(z) ,где £ ~ ящГа кривой Г •* Нсяис‘€.— длрна, дуги кривой Г ^ то, очевидно, X(s+£) - atCs) у ^(s+ ^ yCs) *»
будем предполагать^кроме того^2/ что x(s> и ^(s) имеют не прерывные производные порядка«К по дуге 5 .Зададим на Р
к Функций :
■ 3“>ш9: > 3 3“*“ тД (*-“'“«* “I