Достаточные условия устойчивости движения, заданного нормальной системой линейных дифференциальных уравнений

• Автор: Костюк А.К.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 52 с.

- 1 Г ‘

■ • ■ ' ч >-■ • . ' .

I ... V
Еа всем протяжении развития механики ученые и инженеры, под давлением различных запросов' техники и -г естествознания, вынуждены! была,так или иначе; занимать- . ся вопросами* связанными с,, так называемой,. устойчивостью движения, в частности равновесия.» При этом.различ- ,

. ■ 1 . V ' > ’ . ■ ■ 1 - ' ■ . " .

ные ученые, различные школы, е различное время вносили ' различные модификации в отдельные составные части это-,-го сложного и далеко неясного понятия.
Процесс уточнения этого понятия протекая на общем * фоне уточнения принципиальных основ механики. Тем. не менее, несмотря на творческую работу ряда крупных ученых; на блестящее разрешение р^а прикладных вопросов, связанных с устойчивостью, понятие это было во. всех отно-

; • I • '•! ‘

. ' I • . '

шениях далеко от совершенства, как в смысле формуляров-

.4,4 •'/ ■■■... ‘. ■

ки, так и в смысле .строгости применяемых методов.
Только. в 1892 году Александр Михайлович ЛЯПУНОВ-в--. своей классической работе I"общая задача об устойчиво-сти движения" дал строгую!математическую'формулировку понятия устойчивости и развернутое систематическое Низложение методов исследования заданного движения на
' ■' «, ’ (-. л .
устойчивость.
■ I ... ' у
Такш образом, с появлением этого труда теория
, ■, • , ■ ■ , ■ ‘ 1 1 . 1 • . •; ' , устойчивости движения стала самостоятельной- отраслью
математического анализа, приложимой не только ,к задачам механики, но и к задачам других естественных наук
. •• ■■ ’ ’ ч» ' ' 1.
I ■ ' . ' • ■ ‘
• ' ' Г 1 ‘
■ ' . » ' ' _ ' л
~ 1 " ' N

~2“ . " ' ' '
Применение этой теории к самш разнооЬраэнш задачам техники и естествознания породило различные направления и толкования постановки вопроса об устойчи-вости,данной Ляпуновым,-и вместе^с тем возбудило .инте- • рес к ней не только ученых,-в ^совершенстве владеющих математическим аппаратом,!но также широкого круга прикладников.
В настоящей работе, говоря об устойчивости движения (состояния) заданного нормальной, системой линейных
■ S' „ I' ‘ . 1 ( і
диферєнциальннх уравнений і, мы будем исходить из той по- ' стаыовки задачи, которую дал Ляпунов в первой-главе вы-
' • ' і
шеукаэанной книги-,' принимая зауфункции Q». координаты
■а •. ■ - '- ■ ;
. / движения. Зри этом будем преследовать цель указать стро- ‘
/ ' ' ‘Г f ! , ■ - ■ .
V гне, наиболее простые достаточные условия:_устойчивости,
, . J ^приложимые к самому, широкому классу движений указанного типа, лаядв,проверка которых.была.бы доступна.для большинства интересующихся устойчивостью и выполнение котор рых дзлало-бы ненужным применение, более тонких -и слож-I ных приемов (если они существуют),- требующих,большой математической подготовки.

Глава 1.
ЗНАЧЕНИЕ НОРМАШЖ. СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ■.'.УРАВНЕНИЙ .ПЕРВОГО ПОРЯДКА В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ. :
§ 1. Для того, чтобы показать исключительную: роль вышеуказанных систем при решении вопросов/ свя-занных с .устойчивостью движения, необходимо коснуть-1 ся самого определения’ устойчивости, данного дяпуно-
■ і
зш в первой главе его книги “общая задача об устойчивости движения"
Мы изложим это определение, принимая за функции (зі*
координаты движения.
Предположим, что положение материальной систеМЫ определяется значениями
зависимых величин, называемых координатами,- удовяет-ворчащими некоторую нормальную систему - даференц дальних уравнений
(и і
Ц Избирая одно какое-либо частное решение этих
уравнений, соответствующее определенному движению
системы И определяемое некоторой определенной со- ’
вокупностьа начальных условий, назовем его “невоз
аущенным"; все остальные решения, а, следовательно,
все прочие возможные движения системы “возмущенными".
хО'зторое издание -трактата Ляпунова:"Общая задача об устойчивости движенияМосква, 1935 ГОД.;.

■ - ■ . ' - 1 ' ' . "
3 А К 1.Ю |Ч Е Н И. Е.
Мы установили- наиболее .простые условия устойчивости , движения, заданного.нормальной системой линейных дифереп-циальных- уравнений, наложив |на. р{^ как функции £ единственное ограничение. - непрерывности. Метод, которым мк . ’ пользовались при решении этого, вопроса,' позволяет- расширить возможность приложения критерий ’’А" и "В" к исследованию устойчивости невозмущенного движения более-широкого класса систем, при одном лишь условии, чтобы уравнения возмущенного движения имели специальный -вид,.а также при решении некоторых'специальных вопросов, связанных с устойчивостью движения, При. этом критерии "А" и "В" являются условиями устойчивости, или неустойчивости тривиального решения целого, множества-систем специального, .вида одной и той ,-же квадратичной формы Р .Следовательно, мы могли.бы наI • • ■ ‘‘1
стоящую работу назвать-: "Условия устойчивости тривиального решения множества систем дкференциальиых уравнений специального вида квадратичной формы Р “♦ Откуда, как- частный случай, получай бы достаточные условия устойчивости движения, заданного,-линейной системой диференциальных .уравнений, ибо уравнения возмущенного движения такой системы принадлежат к одному из вышеуказанных множеств.
Такое название с формальной точки зрения- было бы более правильно. '!
Однако, мы отказались от этого по следующему-соображению, Каждое такое множество систем определяется главной своей частью, представляющей]нормальную систему линейных однородных дифференциальных уравнений, без которой триви-