Асимптотические оценки для осциллирующих интегральных операторов

• Автор: Комеч, Андрей
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Б.м.
• Количество страниц: 53 с.

АННОТАЦИЯ

Асимптотические оценки для осциллирующих интегральных операторов

Андрей Комеч

Рассмотрены асимптотики оценок осциллирующих интегральных операторов с вырожденными фазовыми функциями. Главный результат - оценка на оператор, ассоциированный с каноническим соотношением, у которого с одной стороны - складка Уитни, а с другой - асимптотическое вырождение.
Результаты применены к обобщённому преобразованию Радона, рассмотренного Мелроузом и Тейлором. Это преобразование возникает в классической теории рассеяния. Мы рассматриваем два частных случая: рассеяние на препятствии, допускающем касательные плоскости с точным касанием, и на препятствии с асимптотически малой секционной кривизной. В этих случаях свойства регулярности преобразования Мслроуза-Тейлора легко следуют из асимптотических оценок для осциллирующих интегральных операторов.
Мы также выводим свойства регулярности этого преобразования в случае рассеяния на выпуклом препятствии общего вида, с гладкой поверхностью. Регулярность сформулирована в терминах максимального порядка касания лучей с поверхностью препятствия.
СОДЕРЖАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ

СПИСОК ИЛЛЮСТРАЦИЙ

БЛАГОДАРНОСТИ

Введение
Часть А
Асимптотические оценки для осциллирующих интегральных операторов
1. Сингулярные интегральные операторы
2. Асимптотические оценки
3. Почти ортогональные разбиения
4. Оценки вне критического множества
5. Оценки на критическом множестве
6. Соотношения почти-ортогональности
Часть Б
Преобразование Мелроуза-Тейлора
7. Преобразование Мелроуза-Тейлора в теории рассеяния
8. Свойства регулярности
9. Регулярность обощенных преобразований Радона
10. Ассоциированное каноническое соотношение
11. Препятствие допускающее касательные плоскости точного порядка
12. Препятствие с асимптотически малой секционной кривизной
13. Односторонние почти-ортогональные разбиения
14. Индивидуальные оценки около критического множества
15. Свойства регулярности оператора Ё
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ: Почти-ортогональность Котлара-Стейна
СПИСОК ИЛЛЮСТРАЦИЙ
Рис. 1. Каноническое соотношение, являющееся локальным графиком
Рис. 2. Каноническое соотношение с двусторонней складкой Уитни
Рис. 3. Каноническое соотношение с односторонней складкой Уитни
Рис. 4. Двусторонняя складка Уитни, вырождающаяся в одной точке

Рассмотрим, какое каноническое соотношение соответствует фазовой функции 5(х, &), определённой в (7.20). Кокасательная плоскость Т*В может быть отождествлена (через стандартное скалярное произведение) с касательной плоскостью в той же точке г. Это показывает, что дифференциал <іх(г(х),ю(р)) может быть представлен как ортогональная проекция <в($) на ТГ(Х)В. (Здесь х и -& некоторые локальные координаты на В и соответственно.) Таким образом, сингулярная составляющая отображения
Я£ : (х, &) (х,с1х(г(х), <в(#)))
соответствует ортогональной проекции с 8” на гиперплоскость ТГВ. Эта проекция имеет складку Уитни в тех точках со, где (пг,СО) = 0; здесь пг - единичная нормаль к В в точке г. Мы заключаем, что и іІЯі, и сілл - вырождены на критическом множестве
-£? = {(х,0) | (пф),ю(і?)) =0}.
Интуитивно, если ТГВ и не ортогональны, ({пг,(0) ф 0), то, после соответствуютцей локализации, осциллирующий интегральный оператор является, по существу, преобразованием Фурье, и не имеет критических точек.
Рассмотрим другую проекцию с . Сингулярная составляющая отображения
7ГЯ : (х, &) н* {&, <»(&)))
соответствует ортогональной проекции с В на Бели В строго выпукла, то Кц
складка. Более того, это отображение - складка Уитни в тех точках г Є В, где секционная кривизна в направлении со отлична от нуля.
Выпуклость отображения Жц
Покажем, что отображение ггд|в, соответствующее фазовой функции (10.7), является псев-довыпуклым.
Это отображение определяется так:
ЯлЦ : х ь-> У#Я(х, &) = У1)(г(х),«в(г?)).
Если мы будем использовать стандартное скалярное произведение (,) в Кл+1 для отождествления касательного и кокасательного слоёв, 7’со(!?)§л = то Ял геометрически
описывается как ортогональная проекция с і? на
В г{х)г(х)-со($){г(х),со{-&)).
Если гиперповерхность В выпукла (необязательно строго выпукла), то на каждой связанной компоненте О С. В, для каждого г, Г2 Є О,
(IП«, (г-2 — у і) |1 Ікг-ПІІіщ« |(пг,ю)|. (10.2)
Это неравенство будет для нас основным. Поскольку (пг, аз) приблизительно равно детерминанту Якобиана отображения По, (10.2) наводит на мысль, что отображение -псевдовыпу к лое.