Метод избыточных координат и его приложения в динамике

• Автор: Болдинский В.И.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1950
• Место защиты: Ташкент
• Количество страниц: 67 с.

Ли-'
В "Аналитической механике" Лагранж дал два рода дифференциальных уравнений, которыми характеризуются общие свойства движения какой угодно голономной механической системы.
Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями являются уравнениями с избыточными, координатами, так как в них число неизвестных, определяющих положение механической системы, превышает необходимое равное числу степеней свободы системы.
Для интегрирования таких систем Г.К.Суслов СЕ7Д8] создал метод аналогичный, методу Гамильтона-Якоби. Однако, в теории интегрирования- уравнений Лагранжа первого рода мы пока не имеем теорем, которые являлись бы аналогами известных теорем: Пуассона, канонических преобразований и др.:
Развитие теорий, относящихся к интегрированию уравнений Лагранжа первого рода, сопряжено с большими трудностями, которые возникают вследствие наличия в уравнениях движения неопределенных множителей; между тем вполне очевидна та польза, которую можно извлечь из этих теорий для интегрирования дифференциальных уравнений механики.
Уравнения движения в избыточных координатах имеют широкое приложение в механике. Техническая практика часто ставит такие динамические задачи, в которых, оказывается целесообразным сохранение большего числа переменных, чем это
необходимо для определения положения системы в любое мгновение. В некоторых случаях введение в рассмотрение избыточных координат вызывается удобствами, связанными с употреблением в механических проблемах таких переменных, которые тлеют, простое геометрическое значение. В такого рода случаях эти переменные не являются независимыми,, а связаны между собой некоторыми уравнениями.
Так как наличие в уравнениях движения неопределенных множителей влечет затруднения в развитии общих теорий интегрирования этих уравнений, то, естественно, возникает мысль о возможности получения для связанных задач динамики уравнений движения в избыточных координатах, не содержащих множителей связей и обладающих всеми свойствами канонических уравнений динамики в независимых координатах.
Уравнения; такого вида были получены м.^.Шульгиным [24]. Метод, которому он следовал,состоит в том, что из основного уравнения; динамики исключаются зависимые вариации и зависимые скорости, а соответствующие им координаты сохраняются.
Как известно, для исследования ыеголономных систем аналогичным методом успешно пользовались наши ученые:
С.А.Чаплыгин, П.В.Воронец, Б.В.Добронравов и др. Ими. получены фундаментальные результаты в аналитической механике, обогатившие науку.
В 1895 году С.А.Чаплыгин [22] при известных ограничениях, налагаемых на коэффициенты неголономных связей, силовую функцию и кинетическую энергию, пользуясь методом
исключения 'зависимых -^ариаций и скоростей, получил обобщенные уравнения движения, носящие- теперь его имя.
В 1939 году В.В.Добронравов [II] обобщил уравнения С.А. Чаплыгина на случай связей с коэффициентами любого; вида, сняв ограничения, налагавшиеся на силовую функцию и кинетическую ЭНерГИЮ;.
В 1906 году П.В.Воронец [8] решает вопрос о преобразовании уравнений динамики в том случае, - когда уравнения движения системы допускают, интегралы, линейные относительно скоростей. п.В.Воронец рассматривает линейные интегралы как дифференциальные связи, наложенные на систему и на основании преобразованного им принципа Далаыбера получает уравнения движения системы, не содержащие множителей связей, которые он затем непосредственно прилагает к задаче о п телах.
В 1947 году М.$.Шульгин [24] в работе "О методе избыточных координат в. аналитической механике"- получил дифференциальные уравнения движения несвободной голономной системы не производя, операцию исключения "липших" координат и не вводя в рассмотрение множителей связей. Характерная особенность этих уравнений состоит в том, что хотя они составлены в зависимых координатах, но не содержат множителей связей, в этой же статье М.§.Шульгин приводит канонический вид уравнений движения в избыточных координатах и доказывает некоторые теоремы аналитической динамики (теорема Пуассона, теорема Гамильтона-Якоби, канонические преобразоваСледовательно, К (І) может быть выражена в функции
ким. же образом, как Кф выводится из уравнений (2.5).
Из равенства (2.24) следует, что интеграл системы в избыточных координатах (2.5) при преобразовании (2.17) или
(2.18) переходит, в интеграл для новой системы (2.22).
ТЕОРЕМА. Ес'ли система дифференциальных уравнений в избыточных координатах (2.5) преобразованием переменных приведена к системе в новых избыточных координатах (2.22), то значение М1 множителя для системы (2.22) через значение М0 множителя системы (2.5)-;. дается формулой:
В самом деле, пусть М0 есть множитель системы (2.5), К?а,-е® независимые интегралы, а £
произвольная функция:; тогда по тождеству (2.10) имеем
Произведем замену переменных х на у при помощи уравнений преобразования (2.17) или (2.18), тогда по свойству функциональных определителей имеем:

и вызодится при помощи уравнений (2.22) таМ, = М0|| Е?у 1Г¥)|| фгтж.п; ч*п«,п) . (2.25)
Предыдущее тождество, учитывая инвариантность по отношению к примененному преобразованию функции. Кф дает