Изометрические и конформные преобразования в ассоциированных римановых пространствах второго порядка

• Автор: Покась, Сергей Михайлович
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Одесса
• Количество страниц: 106 c. : ил

Глава I. Ассоциированные римановы пространства

§1. Ассоциированные римановы пространства

§2. Римановы пространства П^и ассоциированные с ними прост-

ранства 2-го порядка П*

§3. Римановы пространства П„ и ассоциированные с ними пространства 2-го порядка П*

Глава II. Группы Ли движений в ассоциированном римано-

+* 2,

вом пространстве 2-го порядка 1/и

§4. Однопараметрические группы Ли аналитических движений в ассоциированном римановом пространстве 2-го порядка ИЗ 41 §5. Бесконечно малые движения 2-ой степени в ассоциированном римановом пространстве 2-го порядка

§6. X -параметрические группы Ли движений 2-ой степени в

ассоциированном римановом пространстве 1/^
Глава III. Бесконечно малые конформные преобразования в ассоциированном римановом пространстве 2-го
порядка 1/и
§7. Аналитические бесконечно малые конформные преобразования в ассоциированном римановом пространстве 2-го
~г.
порядка у*
§8. Бесконечно малые конформные преобразования 2-ой степени в ассоциированном пространстве (/^
§9. Бесконечно малые конформные преобразования 2-ой степени

в римановом пространстве ^ , ассоциированном с конформно евклидовым 1/^

§10. Группы Ли конформных преобразований 2-ой стпени в ассоциированном римановом пространстве /^
Литература

Актуальность темы. Рассмотрим риманово пространство , отнесенное к произвольной системе координат х'1, ..., эс*'1' о
метрическим тензором (х} .В окрестности любой его фиксированной точки М лСх1) построим ассоциированное прост-
^ Т,
ранство 2-го порядка /„ , определив его метрический тензор ^ ) следующим образом:
= %ч* т&ъы/У*,

где у % - значения компонент метрического тензора и тензора Рима да пространства 1/^ в точке Мс . Если в 1/^ перейти к римановой системе координат с началом в точке М„ и разложить метрический тензор . 4. *т
то можно убедиться в том, что при у - х пространство К* реализует приближение 2-го порядка для 1/^ и потоку отражает геометрические свойства исходного пространства с определенной степенью точности.
Идея изучения геометрических объектов в окрестности произвольной точки с точностью того или иного порядка довольно часто применялась в геометрии и приводила к более глубокому изучению этих обьектов ([35] , [36]) . Так, например, в теории кривых в дифференциальной окрестности 1-го порядка возникает инвариантный вектор касательной. Это позволяет ввести понятие длины дуги кривой и выбрать ее в качестве параметра кривой. В дифференциальной окрестности 2-го порядка строится вектор главной нормали и кривиэна кривой. И, наконец, при рассмотрении дифференциальной окрестности 3-го порядка получаем кручение кривой. Аналогичные методы применялись и в теории поверхностей ([35]) : исследование поверхности в

§5. Бесконечно малые движения 2-ой степени
в ассоциированном римановом пространстве
^ 2.
2-го порядка
Определение. Бесконечно малые преобразования (4.1)
** і
в пространстве І/*. называем преобразованиями 2-ой степени ([281 , [29] , [30]) , если вектор смещения этих преобразований ] имеет

74 , ^ * е * *' 9г. /сії
і (у) -а. е / + «• е,ег у у . С5*1)
1. Рассмотрим бесконечно малые движения 2-ой степени в , Согласно Теореме 4.1 соотношения (5.1 )определяют вектор Киллинга
а- 2,
2-ой степени в 1/„ тогда и только тогда, когда
а !* = (Х* £ ^ }
Аир - О , (5.3)
а • (ї £})(*&)*• ■ (Ъ &ег)(у)сі. - О) (5.4)
(К*йе,)р (е&ц *&л(іе,)р&?(е1еі)і +£<*((,е,){=(/.(5.5)
Уравнения (5.4) проальтернируем по индексам ^ и ^ , приняв во внимание (5.3) , получаем
Й.иЯ-сугд + Рг^с' + =0. (5*6)
Легко видеть, что уравнения (5.4) получаются в результате симметрирования соотношений (5.6) по индексам и *г . В уравнениях (5.5) поменяем индексы: £ заменим на ^ - на с , у
ег , €г - на ^ .Из (5.5) вычтем полученное соотношение и результат проциклируем по индексам 4 , и :