Рождение предельных циклов из петли сепаратрисы сложного седла

• Автор: Макеев, Н.Г.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Горький
• Количество страниц: 153 c. : ил

Глаза 1. СТРУКТУРА ПЕРВОГО ИНТЕГРАЛА В ОКРЕСТНОСТИ СЛОЖНОГО состояния РАВНОВЕСИЯ § 1« Каноническая форма системы дифференциальных
уравнений

$ 2, Новые специальные функции

$ 3. Первый интеграл системы (Т)) при

1А.»
ул- ■і

§ 4* Фокус и центр в случае сложного седла

Глаза 2, ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЛОЖНОГО СЕДЛА § 5. функция соответствия в секторе отталкивания

особой точки (о, о)

§ б. Характеристическая функция и ее свойства

§7. Вычисление сепаратрисных величин

особого предельного цикла
Глава 3. БШУРКАЦИМ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОГО ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА, ОБРАЗОВАННОГО ПЕТЛЕЙ СЕПАРАТРИСЫ СЛОЖНОГО СЕДЛА § 8. Рождение предельных циклов при

§ 9. Рождение предельных циклов при
и нечетном V*
§10. Рождение предельных циклов при
и четном
Литература

1 Вопросам, связанным с изучением предельных циклов, в настоящее время уделяется много внимания. Это объясняется конечно, в первую очередь широким практическим применением получаемых результатов. Дело в том, что предельные циклы: представляют из себя стационарные состояния системы в которых она может работать достаточно долго в автономном режиме.
Общая задача исследования замкнутых траекторий той или иной системы дифференциальных уравнений в современном понимании распадается на следующие две:
1. Собственно исследование замкнутых траекторий системы на устойчивость, кратность, определение периода и т.д.
Сюда же можно отнести задачи, связанные с определением числа или доказательством отсутствия предельных циклов. Существенным моментом исследования здесь является тот факт, что сама система дифференциальных уравнений не подвержена никаким изменениям.
2. Задача рождения цределышх циклов при возмущении системы дифференциальных уравнений. Очень широкий круг вопросов охватывает задача о возникновении замкнутых траекторий при изменении одного или нескольких параметров. Именно эдесь часто получаются практические результаты.
Само собой разумеется, что подобное деление носит условный характер, поскольку в конкретных задачах часто приходится иметь дело как с непосредственным изучением циклов, так и с теорией бифуркаций.
Если теория предельных циклов уходит своими корнями к Пуанкаре и Бендиксону, то теория бифуркаций возникла менее полувека назад. Еег основоположниками в нашей стране явились A.A. Андронов, А.Г. Майер, С.Э. Хайкин, A.A. Витт и ряд других ученых. Если ограничиться случаем двумерных автономных систем и расположишь задачи, относящиеся к рождению замкнутых траекторий в порядке усложнения, то по лучится следующая картина:
1. Рождение замкнутых траекторий ив сложного фокуса.
2. Рождение замкнутых траекторий из кратного предельного цикла.
3. Рождение предельных циклов из петли сепаратрисы простого седла, а также из петли сепаратрисы седло-узла.
4. Рождение предельных циклов из сложных состояний равновесия, а также из петель сепаратрис сложных особых точек и многоугольников траекторий.
Первые три задачи в настоящее время являются классическими. Еще в 30х- 40х годах были указаны критерии, позволяющие получить точные оценки числа рождающихся предельных циклов. Подробное изложение результатов имеется в[б, гл.£~ю]. Однако по сей день эти вопросы не утратили своей актуальности. Дело в том, что указанные результаты относятся к гладким системам и возмущающие добавки также предполагаются гладкими. Естественно, что такой класс добавок очень широк. Между тем в различных теоретических и прикладных исследованиях необходима использование специальных добавок, скажем, только аналитических, или полиномов, или дробно-рациональных функций. Все это породило обширную литературу, находящуюся преимущественно в журнальных статьях/см. напр. [26,34,33,Следует особо

ления Ус'.'О, 1 = ^к+ 2-3 ео следующую систему уравнений

**г. /70.1
= и«л£>
Легко видеть, что все У^ое^ С= последовательно находятся квадратурами, фи этом постоянные интегрирования выберем так, чтобы
У^С} - ° } ^ - 1+ 2. ^ оО /71.1
Выясним структуру функций У,ц.ч); С = г+У+г,,*® . Из первого уравнения системы /70.1/ имеем
V. М - 2-С*ЧО 0 (Ф Д
*+<+афименяя достаточное число раз формулы приведения /49.1/ и /50.4/, получим, что
1 с-ч^ = К. ^ -V КУ У„
''1+к*-г. /ъ+к+г.
где , целое 9 X СчУ определяется СООШ-
(ь+К-<Г 2. /Ъ.+ С + 1.
ношением /51.1/, а Н, - многочлен относительно С-'м и ’ Ук+2.
с постоянными коэффициентами. Аналогичную структуру имеют все У<д^ цри г+~хП~2Т+1
В правую часть уравнения для '^2г+гиз войщет интеграл от проиэведения 0г+к+2)6> У, . Поэтому } «.ч) можно за-
'ЬН-ч Т:+с+г. и £ъ+£
писать в виде
СА)
Ч«,г14)- На,.г( СЧ ^ У/2,1?

Ч , и ~ I & (.4") У (ч) J V
U <¥; 1 /Ъ+к+2.

Аналогичную структуру имеют все (ч) цри i = ^+2.,3fc -Л-+І . ^ м (JO ч (3J м С^/0
Вообще, если J/Oe) __7 ... С7 fi/J уже определены, то под
D *> будем понимать выражение вида