Об устойчивости задачи Дирихле

• Автор: Могилевский Ш.И.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1950
• Место защиты: Калинин
• Количество страниц: 67 с.

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАДАЧИ ДВРШСВЕ.

25—=—г—г: — :г—гг— гг—=—=— зг

г/" о

ГЛАВА1. ЕМКОСТЬ МНОЖЕСТВ.

$1. О разрешимости задачи Дирихле.

Пусть 24 произвольная область в проотранстве трех измерений и Г - граница области ^ . Пусть /(<*) непрерывная функция,чзаданная на границе Г области.
Задала Дирихле состоит в том, чтобы указать функцию -У[9) , гармоническую в области & /и регулярную в бвоко- ■« нечво-удаленной точке, воли только область , нвограничена/ предельные значения которой не границе Г существуют и совпадают с значениями функции .
•;'Л . ■ -

^■„У(^=г /(*1?

*Р-Ъ(Э - ■

Если для заданной на границе обрасти непрерывной функции /?«/ существует такая функция , то задача Дирихле
называется разрешимой в области для граничных значений
Задача Дирихле называется разрешимой в области ^ , если
■ ■ а- ‘
,аи она разрешима для всех непрерывных граничных значений.
Области, в которых задача Дирихле разрешима, в литературе /М. В. Келдыш3^/ называются нормальными. Нормальными являются, в частности, области класса К, являющиеся суммой конечного числа сфер. Для каждой такой области решение зада-.чи Дирихле можно получить при помощи альтернативного метода
х/ М.В.Кеядаш-0 разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, Успехи математических яаук,УШ,1941,отр.171-231.
2 2.
' ; , О
I л '
Шварца, исходя из известного решения задачи Дирихле для
сферы.
Не ограничивая общности, можно считать, что граница ' рассматриваемой области ^ есть ограниченное множество, так как произвольный олучай может быть приведен к этому при помощи инверсии.
5 ч : ' ’ ' Ъ .*
Для области о произвольной ограниченной границей Г V задача Дирихле в случае двух или большего числа измерений,
вообще говоря* неразрешима, т,е, не существует гармонической внутри облаотн функции Ы(, которая на границе принимала бы заданные непрерывные граничные знания в смысле действительного достижения граничных значений в каждой от-
' дельной точке'границы. -
х/ ~
Винер ' укаэал следующий метод, позволяющий находить
решение задачи Дирихле, если оно существует, в произвольной
области. /• •
Пусть )?(&) непрерывная во всем пространстве функция, значения которой на Г совпадают с
■■ Пусть * . I -
. . , Ч Ч Ч -V Ч • • • ■ с1)
последовательность областей, задача Дирихле в которых разрешима /это могут быть области класса К/, содержащихся вместе со своими границами Гь в области и Сходящихся к об-, ласти *6 ■ ■ в
Сходимость понимается здесь в том смысле, что каждое замкнутое множество в области } начиная с некоторого номера У) содермится во воех областях с/, . •
х/ уУ
Обозначим через К'п,у 1&) решение задачи Дирихле в об-
■’ <5
ласти при граничных значениях . -
Теорема Винера формулируется следующим образом: "Последовательность функций ,
сходится равномерно внутри облаоти Предельная функция
не зависит ни от вида функции ¥(&) вне границы облаоти ни от выбора последовательности облаотей /1/. Если при граничных значениях решение задачи Дирихле существует
то оно совпадает о функцией
Если задача Дирихле при граничных значениях /{&) не имеет решения в области , то функция УрІ&Ц полу-^
чанную процеосом Винера, называют обобщенным решением зада-. чи Дирихле.
Пуоть Я — граничная точка облаоти. Еоли при прибли-жении точки У к точке # изнутри области функция имеет предел и
то говорят, что задача Дирихле о граничными значениями ^(е>) разрешима в точке О.
Если задача Дирихле разрешима в граничной точне О /при любых непрерывных граничных значениях, то точку называют регулярной точкой границы Г. Все другие точки границы называются„иррегулярными. Признак регулярности

ной.во всем-пространстве к совпадающей на Г с А®/ мы
имеем '
? Н;’1е, каково бы ни было число
Пре ДПОЯО.ШШ, что при неко тором р
Ж*»**!. н3пЛс,<9):г**
|3< 40 ’ '
к пусть ^ ''' . последовательность т-очв<к
области ^ такая, что <Р**~
11 н?(?;*:■ я*)*
4м->е>0
Тог та 3- Щ^^>) ~ '&•** Н$ (€ а ^*г) '(^ о*
' . - сь -). 'Сс'ьы Нг (&,&[, )
- р ьП'Ьоэ
«' *-? > о.
и*-» ос
Пусть теперь непрерывная на Г функция такая, что
/<Ч? = р б1*Г4^(а>)
и°)^° а *Гб1(в,)-г4^(в>]
ф(*) >1 6 £Г-ГА$(в'1
и ЦР) непрерывная во' всем пространстве функций, совпадающая с/(вМ /” , нигде не отрицательная и*превосходящая единицу внеЩя'іОчевидно, что дня таким обоазом заданных Функций
!(*)- ЧІ*) 9 ■ . .
^ї*) <И(Р‘т)Ь -&•" >Ог//гУ
*И->СР '