Распространение сферических волн в упруго-пластической среде

• Автор: Лунц Я.Л.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 78 с.

/ -4ВВЕ ДЕНИВ

№ будем рассматривать .в настоящей работе одну иб динамических задач математической теории пластичности,а именно простейшую пространствен дуй задачу* Речь будет итти о распространении сферических юлн в упруго-пжстической среде, возникающих после приложения к говеркиэсти офетэической полости, вырезанной в этой среде, равномерюго давления«, Явление это будем считать изменяющимся во времени. Оставляя да будущее точдую постановку проблемы / см* I, гл.1/ заметим, что тдоб-него рода задачи еще до недавнего, времени служили предметом изучения только лидайгой теории упругости. В даследние годы, благодаря работам прежде всего. Х:А. Йахматулида, Р.С.Шапиро,
В.В. Соколовского, Ф.А.Вйхшяда и др., были поставлены и решены некоторые дидамические задачи механики сплошной среды в предположении, что. материал обждает упруго-пластическими свойствами»
Следует отметить особую данность гостаювки таких задач. При меданичеекой обработке металлов, при взрывных и ударных нагрузках часто возникают да столько большие напряжения, что пользоваться линейной теорией упругости для описания явления становится невозможным, а венду тем бывает интересно знать, какое упрочнение подучил ьатериал в результате даклепа, какие остаточные деформации возникли в обработанной детали или какова зова "поражения" материала пластическими деформациями*
На все эти вопросы линейная.теория упругости не может дать ответа; для описания этих явлений ш будем пользоваться математической теорией пластичности, ^гжда здесь же отметить, что, хотя большинство исследователей / в том числе и автор/ пользуется для описания быстрых процессов нагружения и риз- . грузки так называемой теорией малых говстических дефордаций,

которая обобщет класешесдую теорию упругости, однако все результаты, подучаемые при гошмш этой теории, не шгут претендовать на ту же точность, накую, сканей, дает матедатиче-

- ' - -3 ’ *

скал теория упругости при описании гдинашческих.явлений в среде, подверженной шлкм напряжениям и деформациям, Моягаэ . лишь з/тверндать, что кк а ч е с. т венная картина яв* і/ ления, подучаемая при гошщи указанной теории пластичности, совпадает с имеющей место в действительности физической картиной. Ш дальше укажем на основной недостаток теории малых пластических дефоршіщй при описании ею динамических процессов / см. 5°. _/.

I. Состояние вопроса.

Постановка динамических задач теории пластичности при-надлеяит. Х.А.Шхматулицу. Зу принадлежит такне решение ряда важных задач о распространении плоских и цилиндрических волн. Кроме работ Х.А..Й1Хматулина ш коснемся г десь веоьда интересных работ Г.С.Шапиро, В.В.Соколовского^ Ш.А.Вахшияда и других, вышедших за последние ЗтЗ года. Ш сознательно выцускаем из рассмотрения все работы, посвященные вязког-пластическоьу те- ■ чению, в которых пренебрегают иневдшиными членами в. диффе -ренциальных уравнениях движения / шлример, известило работу
С.Л. Соболева О рвспрос7рс^енцц пл«.<цичесМ<ло • ,
работы Л.М.Жчанода о ползучести и др./, так как на наш взгляд они относятся к другому, также весьма важному, шпра-Елению математтеской теории пластичности.
Все вышедшие до сих шр работы, посвященные распространению упруго-пластических волн, можно разбить на следующие три группы: а/ одномерные задачи; б/ двумерные задачи;в/ трехмерные задачи. й&м представляется удобным перейти к их рассмотрению в указанном поркдке.

2. Одномерные задачи»
В 1945 г. в яурнале 4 Прикладная матештика и механика" т. IX,в.I, появилась работа X.А.йаэдаатулиш. "143, в шторой он стан® задачу о распространении уп|уго-пластической
плоской волны в году бесконечном стеркяе.
/ ■ 4 ... . ,
Мы шсколыю. подробнее остановимся ® этой работе,так как многие идеи, изложенные в. ней, будут нами в дальнейшем * -использованы
Задача, в случае монотонного нагрунения торца, сводится к интегрированию квазилинейного уравнения в частных производных
АУ = - . (1)
■г4' Яхг • •
где /и(*Д)~ смещение точки, стерши, отстоящей от торца ® расстоянии х в го.мент времени ’Ь и
- местшл скорость звука* * внрайаїш^лся через швэтфсть не* деформированного материала р0 и произвддную осевого да -ПрЯЖенШ В сечении отеркни б'см^по осегой дефоршции е Зависимость, дапряжения б" от дефорхации « дола®, быть задана эксперймегоальной кривой <г = Фс©)
Начальные и граничные условия берутся в обычном виде:
^ри, "(г - ° : уС-Ч"0 (2)
*Г* х = о; или (Г(^).= Г№1
Здесь 'и'- - Д И У. -
'Ь-їг

Предположим теперь, ЧТО у'О) ^ °° ИЛИ , что то
же, _«г «о , это соответствует переходу К МГВ0В8ВШ включенному давлению превосходящему предел упругости, ^бпда из /5751 / видно, что
42=
С»1
Этот результат означает, что в случае мгновенно включенного давления, превосходящего предел упругости границей менщу 80шй птстичязсти и эо®й упругости в окрестности точки 0, является прямая п-і = о,І7 , Ранее, в § 4 sЭтoт факт был уже нэш доказан.
Решение квадратного уравнения / Ъ.хч / в общем, случае, находим аналогично предыдущее, в виде:
б а _ В-'ІЙС
где введены обозначения:

/5.Ы
72«
Ь ^ а«(а^-£а2) __ ^цо<
©о 1 1 »2ес
с = »51
іак же, как и вше, при
’ /ч

сЦ~
Фиг.й.
решение В области следует изложить
находим ш формуле / 5. £ /"," гДе
<Ха

отрезке 0&, мы знаем значения к = и у
' ' к о
V- 'ЬЪ- — Р -- - '-ух