Конформная наложимость поверхностей

• Автор: Ведерников В.И.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 74 с.

В в е д е. н. и е

Теория наложимости поверхностей, -возникшая из практических потребностей картографии, принадлежит к числу основ* «ых проблем- классической дифференциальной геометрии поверхностей пространства Евклида. Первые исследования по теории наложимости поверхностей принадлежат русскому акаде-

. , х/ » * '

мику Эйлеру , который•изложил свои результаты в работах

1771 и 1884 р. В 1827 г. Гаусс в своем мему» v

аре "
устанавливает.основания геометрии на поверхности к связывает. задачу наложимости с внутренней геометрией поверхностей. После работ Гаусса появляются многочисленные исследования по теории «алокимос-ти поверхностей. Важнейшие ре-
А Q
зультаты общего характера были получены русским математиком Миндингом-.в работах 1837-46 гг, и< Бонне /1884
Кроме Эйлера -и- Миндинга значительные результаты были получены учеником Миндинга Петерсоно?дхх/. В 1868 г. Петерсон определяет.изгибание на главном основании и получает в этом направлении фундаментальные результаты, на много лет опередившие .исследования иностранных математиков. Исследования Петерсона были продолжены з работах Млодзверского /1887 г. и позднее в работах Московской математической школы /Фиников, Егоров, Бюшгенс, Ефимов/.
В начале XX века, наряду с, -классической'дифференциальной • геометрией поверхностей пространства Евклида, начинает развиваться проективная,- аффинная и конформная дифференциальная геометрия поверхностей. Фубинц з 1916 г. определяет проективную наложимость, обобщая наложим«-©ть по- ■ •зерхностей' классической дифференциальной геометрии
х/ 1й I г л. I хх/ К0. 2 Зв ед ение
определяет проективную наложимость .следующим- образом^ Соответствие между точками двух поверхностей £ я 5 называется проективной наложимостью* ес'ли для каждой «роч-ки & на £ можно найти проентивноепреобрайование Т* % которое переводит кривую . С , исходящую из ТОЧКИ £/ и принадлежащую £ , в кривую /"* , которая имеет аналитическое соприкосновение 2-го порядка с кривой С , кото-, рая лежит на £ и соответствует кривой С на * .. Два поверхности- между ‘которыми можно установить соответствие наложимости называются про актив но-н ал ожпшш поверхностями. Картан в 1920 г. распространил понятно наложимости на геометрию любой группы преобразований, определяя ее следую- . щим. образом2^ . Да«а группа преобразований ^ £* / . Поверхность 5 налагается на поверхность £ в геометрии группы преобразований [к] , если между точками, их устанавливается' взаимно-одпозначное соответствие так, что каждой паре сходственных точек л^ и Ж можно присоединить преобразование Ь. группы [С } , которое переводит поверхность^
в положение £ , .под условием: Г/ Точка ЛС на поверхности $ совжестився с положением соответствующей точки ЛС поверхности £ 2/ каждая кривая на поверхности £ »проходящая через точку «Ж будет иметь в этой точке нас а -нио /'г г" порядка с соответствующей кривой поверхности то-ость расстояние между точками £{* и *А4- * , близких Р*н
к общей точке гьУМ- 1 будет бесконечно малое поряд -ка п+ 4 ттс'сравнению с расстоянием их от общей точки. Определенная таким образом наложимость совпадает с классической наложимостью поверхностей, .причем {Ь} в этом случае есть группа движения и п.* * и с проективной нал ежикос т ью Фуб ини.

х/ й°. 3 гл. 71 § 27 хх/ и 4 гл. Ш § I
3. .
Такое.универсальное определение наложимости повсрхно-'
СТОЙ НО является единственно. ЭОЗ.НОЖНЩГ обобщением классической наложимости поверхностей. Кроме того, в случае геометрии аффинной группы, наложимость поверхностей в смысле Еартача возможна только для двух аффинно-тождест-ВСННЫХ поверхностей, то*есть по существу не приводит к цели. В настоящей работе определяется и исследуется наложи-кость поверхностей в конформном пространстве, обобщая классическую наложимость'поверхностей, причем, как будет -; показано, э § 10, наложимость в смысле Картана-но совпадает. с определенной нами наложимостью.
§ I. Конформно-дифференциальная,геометрия нормализованной- поверхности
Мы рассматриваем поверхность в трехмерном конформном пространстве Мебиуса-, заданную в пентасферических координаТ FiX ' . ’ * '
У = Jt ( гс ''ЪС - У ( у ' * г У J х v у
У * - (У У) — о п
, öWnT
где через (сь = л-ъ обозначаем ближайший коваринат двух
с фер.
Дифференциальная, .геометрия поверхности пространства Мебиуса развита А. Гі..Йордан ом, исходя из общей ид ей - нормализации поверхности. МЫ изложим здесь основные сведения из теорий нормализованных- поверхностей, которые нам потребуются в дальнейшей. Поверхность называется норкализован-V У
ной; , если" в каждой точке-поверхности определен круг ортогональной поверхности или нормализующий круг, проходя-Л щий через эту точку. Всякий круг ортогональной поверхности в, точке ус -гс'УсУ можно определить как пересечение двух сфярА
= 'Вг^'С /г X
х/ т 5 § II
•«г / тфо а к
ГО ИЗ СС'<) CX.OJf.yCT
■ 'о. ОС =-^ . си*. %ъ + Є-І эс = &' ■
или в силу независимости сфер *§*, и. ^ и -
а г- Н д • уз -бф о
и в силу линейной независимости тензоров . ,р^-. ^ Су имеем |.
/-/ -уъ О-:^ - О ^ " ±
Если мы примем постов «ус точку за бесконечно удаленную точку ~ пространства Мобиуса, то получим про-, стоанство,-Евклид а, в котором центральные сферы поверхности х (■*.■■*.*) .будут ее касательными плоскостями-. .Это возможно для минимальных поверхностей пространства Евклида, . Следовательно рассматриваемые «аки поверхности есть по*?, верхнее ти минимальные и их конформные модификации. Мы их будем называть обычными минимальншіи - поверхностями
г - •
ЛОВТ/ТЯ интегрируемости б-^гУ для обычной минимальной поверхности затешутся а впдэ
аф.= 0 *• : Л,а
-г' ^ '//с; У - ^ ^ £^3 ^О ^ ~ -
Из результатоз полученных в ^ 4 следует, что.всякая обычно минимальная поверхность монет, быть определена заданием Произвольной изотермической сети В МОТРИНО' X-.- ± которую следует принять в качестве ЛИНИЙ кривизны обычной минимальной поверхности и -*■ удовлетворяет условию
"і - іф7-г ^ ,я х д.' у
Далее, все обычные минимальные поверхности имеют угловую метрику центральных сфер ПОСТОЯННОЙ кшвизиа
и следовательно конформно наложима.
Рассмотпим теперь . - минимальную поверхность, у которой