Исследование свойств линейных аппаратов приближения непрерывных функций

• Автор: Шахвердиев, Вагиф Магеррам оглы
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 139 c. : ил

ГЛАВА I. АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ОДНОЙ ОБЩЕЙ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ _ОПЕРАТОРОВ

§ I.I. Обозначения, определения и некоторые

вспомогательные результаты

§ 1.2. Свойства операторов

§ 1.3. О порядке приближения

операторами Gn 3
Глава II. ИССЛЕДОВАНИЕ МОНОТОННОСТИ И ЗВЕЗД00БРАЗН0СТИ НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

§ 2.1. Основные определения и вспомогательные

результаты

§ 2.2. Условия монотонности последовательности

операторов IV и их применение
ft»
§ 2.3. Условие монотонности последовательности и их производных и о звездо-образности этих операторов
§ 2.4. Условия монотонности последовательности полиномов С«-) и их производных и о звездообразности этих операторов
Глава III. ОБ УСЛОВИЯХ МОНОТОННОСТИ НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 3.1. Условия монотонности последовательности полиномов С.Н.Бернштейна-А.О.Гельфонда ДЛЯ функций двух переменных
§ 3.2. Условия монотонности последовательности
полиномов типа Бернштейна
для функций двух переменных
ЛИ ТЕРАТУ РА

Одним из основных направлений в современной конструктивной теории функций является эффективное построение линейных агрегатов, приближающих функций из заданного класса.
К числу простейших агрегатов такого типа относятся классические интегралы .Пуассона, Гауса-Вейерштрасса, Ландау, Пикара, Джексона, Фейера, полиномы Бернштейна, Гельфенда, Хлодовского, наконец частные суммы рядов Фурье. Различные свойства этих аппаратов приближения описаны в широко известных монографиях
[*], О 3 ; ВП > М , [Р{ ], и АРУГИХ* Характерной
чертой их конструкций является то, что они переводят неотрицательные функции в неотрицательные, т.е. являются положительными линейными операторами.
В 1953 году П.П.Коровкин [ [в ] заметил, что для линейных положительных операторов можно значительно упростить условия классической теоремы Банаха-Штейнгауза, в пространстве функций непрерывных на конечном отрезке, достаточно потребовать только сходимость на трех простых функциях.
ТЕОРЕМА Ш.П.Коровкин [(6Г] ). Если для последовательности линейных положительных операторов Д,г(^;х) выполнены три условия
то равномерно на
если непрерывна на [<Х, {? ] , непрерывна в точке зс
слева, в точке X = (? справа и ограничена на всей вещественесли
- 4 -
ной оси.
Это фундаментальная теорема послужила отправным пунктом для многих исследований.
Отметим, что важные результаты в этом направлении получены Р.Г.Мамедовым — [19] , В.А.Баскаковым [б ]?[ч! , В.И. Волковым [у] ,Г.А.Фоминым [^Ц~ , И.И.Ибрагимовым и
А.Д.Гаджиевым [{$ ] , а также зарубежными математиками П.Бут-цером [ % ] , Т. Поповичу [во'] » А.Лупашем [<-(?] • Шёнбергом [ 5~( ] » Мейер Кенигом и Целлером [ П.П.Коровкину принадлежат также и первые результаты по исследованию порядков сходимости последовательностей линейных положительных операторов. В дальнейшем порядки сходимости различных классов операторов были изучены Р.Г.Мамедовым [/? ]>[/&]
А.С.Джафаровым [вб] » А.Д.Гаджиевым и другими.
Были выяснены и другие характерные свойства, которыми обладают сконструированные с помощью теоремы П.П.Коровкина последовательности операторов. К их числу относятся сохранение операторами свойств приближаемой функции или приобретение ими таких свойств.
Чтобы привести необходимые нам результаты этого типа, напомним некоторые известные определения (см. [9], [и] )
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.1. Пусть функция определена и непрерывна на [а, £] , а зс и ^ - две различные точки этого отрезка
X Ф- ^ . Разделенной разностью первого порядка для функции ' обозначаемой через ] ] , назовем отношение

Р / *3° 1 ЧЛ,
^7~+() ) • (1.3.15)
К.-0 Учитывая, что

2 К‘ (Х-тр,)^00^ ~ ^п+учр’
к=° &
К^сч С_х) = Т(к+^р Тл-к^о0^ + ’И**'*?
1Уц+)ИР>К.
Щ-)Чр
к = о будем иметь
■— , к 1 . Л5х^) Г) Сх]) ] г= 1 Тг^Р_ х. х
1)л У {/ЩМр,*. у
'У*4'- Г^тУ к} Уг
-у 77
о и
следовательно, подставляя в (1.3.15), будем иметь
<рд
1 1-^Р-х1[) (X) 4 х +1 Ьжр х ь
/-__' ^уи ип-тр>* V. 1 XV)
ТСи,— ТГшмрС^Л- Тп.-КР-н)1ч)
+ тх *
О VI

Учитывая все это в (1.3.14; и полагая <5и.~ Уи. ** получим
I и^аС^Ь«)-
+ [ 1^Кр)] 'Ыф