О некоторых условиях центра.

• Автор: Малкин, К. Е.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1964
• Место защиты: Б. м.
• Количество страниц: 84 с.

ГЛАВА I

§1. Постановка вопроса

§ 2. Основные обозначения

§ 3. Исходные критерии центра

§ 4. Критерии центра в форме векторных уравнений

§ 5, Строение матрицы М

§ 6? Основные решение и критерий центра в матричной форме

§ ?. Окончательная формулировка критерия N центра

§ 8. Инвариантность относительно поворота и достаточные условия центра

§ 9. Центрально-сопряженные матрицы

12.

Глава II
§ 10. Критерий центра для случая,однородных
нелинейностей порядка п
§ II. Достаточное условие центра и модификация
полученных теорем для случая четного а
§ 12. Первые необходимые условия центра

ГЛАВІ И.
§ 13. Случай квадратичных нелинейностей
§ 14. Классификация случаев центра 1-У на основе 2-го необходимого условия
§ 15.1 Исследование случая I
§ 16. Исследование слуйаев П-ІУ
§ 17. Случай У
§ 18. Окончательный результат и обсуждение
ГЛАВА ІУ
§19. Случай однородных нелинейностей 3-го порядка
§ 20. необходимое условие и классификация случаев центра

§ 2Е. Случаи достаточности трех условий центра, Четвертое условие

§ гг; Случай недостаточности четырех необходимых условий
§ 23. Достаточность пяти необходимых условий
для наличия центра
§ 2Ц Окончательный результат и обсуждение
§ 25^ Аналогия между условиями центра в слунаях
однородных нелинейностей 2-го и 3-го порядка
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
§ 26. Обсуждение полученных результатов
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ В работе рассмотрена проблема центра для обыкновенного дифференциального уравнения вида
(Х+ Р)dx + (У + Gt)dy -О (I;

Р/Q - аналитические функции от Х,У , обращающиеся в 0 вместе со своими первыми производными при X - У = О © Начало координат является для этого уравнения особой точкой 2-й группы [23], т.е. особой точкой без исключительных направлений([1];стр.99 ). Как известно, к виду (I) афинным преобразованием плоскости можно привести всякое уравнение
-О, СП)
имеющее особую точку 2-й группы, в окрестности которой разложепл м &<±ьмхлеша>
ния аналитических функций X, У ^содержат члены I-го порядка ([I] , стр. 128); начало координат соответствующим афинным преобразованием переводится в эту особую точку.
Функции Р(зс^) w Q(x,v) в уравнении (I) в даль -нейшем будем называть нелинейностями. Если, например, Р и Q -однородные многочлены степени п. , мы будем говорить об однородных нелинейностях а-го порядка и т.п.
Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.
В главе I рассмотрена проблема центра для случая произвольных нелинейностей. Если в любой окрестности особой точки 2-й группы содержатся ^окружающие ее) замкнутые интегральные кривые, особая точка называется центром, - в противном случае фокусом.* Проблема центра состоит в том, чтобы по коэффициентам дифференциального уравнения (I) определить, к какому из этих двух типов

Полагая Х(1) = А2(1)-Л_1(1) , получим из (13.8)
А2 = А-1 + 1с,А1=р-А-1-2к,Ао = р-А^+К; (13.9)
А-1+'-4 р і 04<А-*4р-2., 14 К. 4 -%■ (р — А . (13.10)
Эти соотношения полезны при нахождении векторов 1 , задающих
в (13.2) суммирование
§ 14. Классификация случаев центра 1-У 1а основе г-го необходимого условия
Таким образом, условия центра при р > і мы будем искать в виде
2 р
Зт[^Е П (К}(1)а1.+ ^[11)аы.)] = 01 (14.1)
с1еГ>(;р) 3-і4 J ч і >
Р = І,Ь,4,-- з
Г>[р)-{(111.і1І2р))-І4Іі4аі^(2.І2-і)^0 ПРИ }<1р,
АЦ1)>Л-,П)}
(Коэффициенты £-]0) заданы по-прежнему формулой (ІЗ.3)). При р = 2 суммирование в (14.І) задается, как легко видеть, лишь четырьмя векторами 1 :
(2,0,0,0), (0,2*0,0), (0,0,2,0), (0,0,0,2).
Вычисления дают второе необходимое условие центра:
9т[а2(- -сха0 -г —а^^)} ^ 0, (14.2)
или, в равносильной форме,
‘Зт[ага1(а1 + 2а„Х^а1-а»)] = 0. №-3>