Об областях притяжения многомерных устойчивых распределений

• Автор: Рвачева Е.Л.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1950
• Место защиты: Львов
• Количество страниц: 68 с.

' Оглавление»

стр. !
§ 1. Многомерные безгранично делимые распределения..5 §2. Сушы произвольно распределенный случайных ) векторов »♦...•♦» . . . . . » Х2

§ 3. Многомерные устойчивые распределения » . .• ■»■

§ 4. Области притяжения многомерных устойчивых

распределений ».о »35

§ 5. Щотоивтркж решетчатые распределения. • ■ * . . 51 § 6. Многомерная лекальная теорема для решетчатых

^ распределении •: »■ • • « • о • • .« * •#■».• »

Литература

Ь ' ' ' ' ■ : ;

■ ' I

1 ' ' ' >.. . !
■ •• , ■
си. ■ ■ !

„Введение1
Яастоящая работа посвящена некоторым обобщениям предельных закрномерностей для суш независимых случайных г величин, подробно изложенных в книге Б.В.Гнеденко и
А.Н.Колмогорова, [э] > на многомерный случай.
Основные» понятия п основные теоремы для многомерных случайных векторов изложены в работах Б.В.Гнеденко [4] , П.Левп [із] , Г.Крамера [її,12]
В § 1-2 обобщены на многомерный случай предельные теоремы для суш безгранично делшшх к произвольно распределенных независимых бесконечно малых слагаемых. Результаты этих §§ не претендуют на новизну., но они, нови—-димому, публикуются впервые. Доказательство основано на перенесении на многомерные распределения метода Б.В.Гнеденко, использованного им для изучения предельных зако -номерностей для суш независимых случайных величин [і,3] п построенного на всестороннем использовании безгранично делимых распределений.
В § 3 приведены результаты, относящиеся к устойчивым распределениям, т.е. распределениям, обладающим следующим свойством: каковы бы ни были положительные числа. 3, -в и постоянные векторы Л- ; я/) , ...> ,
существуют такое положительное ЧИСЛО --В и постоянный вектор Л ~(а, , &$) , что для функции распределения,-
3 имеет место соотношение

где * означает знак композиции законов. Это определение устойчивых распределений,рассмотренных Леви [13] и Фельд- ,... хеймом (“17] .Класс так .определенных устойчивых распределений, как показали в одномерном случае А.Я..Хлнчпн и II.Леви [ 15, 1б] .совпадает с классом .распределений предельных для нормированиях сумм независимых случайных одинаково распределенных векторов
Ж. 4,' ~Луу
Ък = ; /I
Где постоянные В„>0 И постоянные векторы надлежаще выбраны
В § 4 для таким образом определенных устойчивых распределений получены области притяжения, т.е. найдены необходимые к достаточные условия того,чтобы для данной последовательности взаимно независимых одинаково распределенных 5 -мерных случайных векторов- ^с- бы) лри надлежащем подборе постоянных векторов Лц—(о,ъ..._,<**) и положительных постоянных распределения нормированных ерш /I/ сходились к данному устойчивому распре делении. Тем самым обобщены соответствующие результаты А.Я„Хинчкна,П.Леви к
В.Феллера /см..,.напр.., [э] / для нормального одномерного рас-пределения., а также результаты Б...В.Гнеденко [2] в ©.Дёбэшва Гю] для остальных устойчивых распределений. Вывод результатов основан на использовании общих теорем о сходимости суш независкщх случайных векторов, изложенных: в § Г-2.
§ 5 посвящен изучению свойств многомерных решетчатых распределений. Получен характеристический признак 5 -мерно-

В силу /14/ і-; /15
1сгхс')^ к*(1+Е) Р(^ь-кг*'л:0) £ ' :
4(,+ е)к*]‘~г*'р(?ь1с^)
Отсюда получаем при кҐ (^ I
| [ту)*РГым) <2&* г* (і+£) кы**Р(?>£&*)—-^Вк^'г 5*£Яч
и в силу /II
7Г* Г/г>0*Р(р^). £ ,ы(1+е)к
, •&■ Р ї~ст)к*-* ■■>- -
' р<£.в. :. .
откуда
&•», &т Г"! / Ш^Р^м)=0.
?->0 * р<е£*,
А так
{/ (т ^рм-фП)Р^РВВр
в" 5<£.3
то теорема доказана.
Для частного случая, когда распределение. Р(ж) притягивается к устойчивому распределению с помощью одних нормирующих коэфрнциентовйу Я„>0 о случаев, приводящихся к этому, легко указать характеристический признак принадлежности этого распределения области притяжения данного устойчивого распределения». В случае притяжения такого вида в качестве предельных расцреде-