Об устойчивости решений системы дифференциальных уравнений второго порядка

• Автор: Тулегенов Б.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Алма-Ата
• Количество страниц: 63 с.

В диссертации рассмотрены вопросы устойчивости решения системы диференциальных уравнений второго порядка с переменными коэфициентами. Хорошо известно , что если вое характеристичные числа линейной системы диференциальных уравнений положительны , то решение А - о этой
системы устойчиво. Если же среди характеристичных чисел системы найдется хоть одно отрицательное, то указанное решение неустойчиво. Таким образом,задача об устойчивости или неустойчивости для линейных сиотем связана с вопросом о характеристичных числах этой системы. Если оиотема диференциальных уравнений является линейной оистемой о постоянными коэфициентами, то вопрос отыскания характеристичных чисел ее решений решается просто. В случае^когда система диференциальных уравнений есть линейная система с переменными коэфициентами, вопрос отыскания характеристичных чиоел ее решений является до сих пор открытым . Как показал А,М.Ляпунов,отыокание характеристичных чисел системы даже о периодическими коэфициентами уже требует,
1/ '
вообще говоря, знания ее частных решений. Если связь между коэфициентами системы и ее характеристичными чиолами для линейных систем с постоянными коэфициентами может быть легко установлена, то для линейных сиотем с переменными коэфициентами такая связь вообще неустановлена. В нашей работе указаны некоторые условия,которым^должны удовлетворять коэфициентн линейной системы диференциальных уравнений второго порядка о переменными коэфициентами, чтобы
имели место -устойчивость или неустойчивость решения _о(,■= ^^ = о этой системы. Также даются оценки характеристичных чисел указанной системы.
До работ Ляпунова в исследованиях устойчивости ограничивались рассмотрением лишь только первого приближе -ния. В подобных случаях,как известно,можно придти к ошибочным утверждениям. Ляпунов,раз вив теорию характеристичных чисел и применив ее к решениям линейной системы с переменными ноэфициентами, выделил класс приводимых систем; при помощи которых он разрешил вопроо о том,когда
уравнения первого приближения полностью решает задачу 1
устойчивости.Н.Г.Четаев продолжил исследования Ляпунова
в этом направлении и дал полное решение этого вопроса
для более общего клаооа системы диФеренциадьннх уравне3
ний,тан называемых правильных оистем. Нами показано,что при некоторых условиях,налагаемых на коэфициентн системы первого приближения, уравнения первого приближения полностью решают вопросы устойчивости.При этом мы не всякий раз требуем правильности этих систем,которая необходима в соответствующих теоремах Ляпунова и Четаева.
В своих исследованиях мы основывались на некоторых определениях,которые были даны Ляпуновым и Персидским,а так же на результатах;полученных Ляпуновым и Четаевнм. Поэтому в нашем введении мы приводим те определения и результаты работ указанных авторов,которые нам будут нужны в дальнейшем.
§ 1.Пусть дана система диференциальных уравнений :

(1) Ж"
с**«,»,.. .,»о ,
где сО^ , к4) оуть вещественные, непрерывные
Функции с непрерывными частными производными первого по -рядка относительно величин } . . . в области
Н , определенная следующими неравенствами :
Си") : зС* +• •• + *и б И и X > о ,

в которых К- некоторая постоянная . Причем при У.-У,- -- -Кк-Омн будем считать ,что функции обращаются в нули , т.е, будем считать ,что система СП имеет решение У, - Ух. - - ' ~ ~ °
Определения.
Будем говорить , что решение
= Уу. с О
системы (О устойчиво, если для любого наперед задан -ного чиола £ >о и любого наперед заданного начального значения І=Д0 (До >/ О") , существует такое число
"Ъ * 'І-(. Б.До’) , что любое решение системы (1)
(2>) 1.СІ4) J . . J ІДИ
будет удовлетворять неравенству
(з) Д ^ + - • • 4 у и £ £г при воех конечных значениях І >, , если только
начальные значения решения (2^ ^ удовлетворяют условию:
М ^і.) и*’
Б противном случае будем говорить , что решение
- * • - ■ * А
- 49 -Где л/= <^_
Так же заметим , что если е системе (1) заменить. на - :И, , то знаки коэфициентов Р^2 иР^ изменятоя
на обратные і
Для того ,чтобы у была знакопостоянной положительной функцией^очевидно достаточно выполнение условий :
Яг, >° , '*я , Я,г- Я«>0 ;
но из сделанных замечаний „ясно ,что эти условия можно заменить следующими :
71- у ?Х1.Рг, >0
Считая эти условия выполненными, проинтегрируем равенство (4) по независимому переменному "Ь , тогда будем иметь при всех значениях "Ь о :
X _
чХг^г > А €° у
где Л|Ч о(, |і=0= < - = ^ = £
отсюда имеем следующую теорему :
Теорема 1. Если система диференциальннх уравнений (ЗЛ такова , что коэфициентн Р^2 и Р2^ знакопостоянные
одного знака и
ТО решение J- dl - О системы -ИХне-УСТОЙЧИВО i
Замечание . Если в оистеме Диференциальннх уравнений (1)коэфициентн pst (.6,*= 1,0 суть постоянные , то?