Аппроксимация функций двух переменных полиномами С.Н.Берштейна

• Автор: Ипатов А.Ф.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Петрозаводск
• Количество страниц: 210 с.

§ I. Состояние вопроса :

§ 2. Постановка задачи

Г л з в э первая:

Подготовительный материал

§ I Первоначальные полинаяы. йх оценки и плотность

распределения

§ 2 Оценки сумм первоначальных поликшов

§ 3 Связь производных с 'конечншш разностями. Оценки

•суш производных от первоначальных полиномов

§ 4 Об одном свойстве модуля непрерывности

Глава вторая

Полиномы С .Н . Бернштейн а непрерывных функций двух переменных
§ I. Поведение - з точках периметра квадрата
§ 1-а СходимостьДг/*; к. / ■ во внутренних точках не,прирывности /.. ' 7
§ 2. Сходимость дифференцированных полиномов С.й.Бернштейна *
§ 3. Оценка погрешности приближения
§ 4. Интегральное представление 4?** и вторые доказательства теорем об* сценках погрешности
Глава третья
Полиномы' С.Я.Бернштейна произвольной ограниченной функции
§ I. Скелет. Примеры разрывных скелетов . ... •,
§ 2. Полиномы Бернштейна произвольных ограниченных
скелетов *■••' "
§ 3. Класс скелетов/„Нормализованное расширение скелета класса .$ ,
§ 4. Теорем® сходимости полиномов Бернштейна скелетов
класс а Д
§ 5. Некоторые теоремы' сходимости для
Главка че т..в е р т а я
Полиншы С.Ы.Еернштейиэ в.точке ' ^-стороннего разрыва
I рода , ■
§1. Нормализованное, расширение скелета в течке Ж-стороннего разрыва: '*
§ 2. Обобщенна теорем II. 13, 14
Попользованная литература
ВВЕДЕНИЕ §1. СОСТОЯНИЕ ВО ИЮ С А.
И if/i-О ПРЕДЕДЕННАЯ НА СЕГМЕНТЕ М О ФУНКЦИЯ, ВВЕДЕНЫ В
МАТЕМАТИКУ ■ В 1912 ГОДУ О СЮ НА ТЕД ЕМ КОНСТРУКТИВНОЙ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ АКАД.СЕРГЕЕМ НАТАЮ НИЧЕМ БЕРНШТЕЙНОМ. С ТДИЧАЯСЬ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОЙ ПРОСТО 20 іі ЮНСТРУКЦИй.ЮДИНОгЩ (А) В то ЖЕ ВРЕМЯ ОБЛАДАЮТ МНОГОЧИСЛЕННЫМИ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ.
О иИРАЯСЬ НА НЕЮ ТО РЫБ ИЗ ЭТИХ СЮйСТВ.С.Н. БЕРНШТЙН
. ДАД ГДУЮЮ ОРЙГИВАЛЬШЕ И ШЕСТЕ ИЗЯЩЮЕ И ЯСНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ. ТДОРШЫ К. ВШЕРШЇРАССА (1885), УТВЕРЖДАЮЩЕЙ, ЧТО ВСЯКАЯ ЕЕПРЕШВНАЯ НА НЕЮ ТС РОМ СЕГМЕНТЕ ФУНКЦИЯ МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНА В ВИДЕ ПРЕДЕЛА РАЗНОМЕРНО СХОДЯЩЕЙСЯ НА НЕМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЮЛИНОЮ В ИЛИ,ЧТО ТО ЖЕ, В ВИДЕ СУММЫ РАВНОМЕРНО СВОДЯЩЕГОСЯ РЯДА ПО ЛИЮ МО В.
С.Н.БЕРНШТЕЙН ДОКАЗАЛ Ш* ,ЧТО ЕСЛИ Jf/7 НЕПРЕРЫВНА Ш о РАВНОМЕРНО ОТНОСИТЕ ДЬЮ ВСЕХ
ІІЕРВО НАЧАДЬЮ ПО ДИШМЫ БЕРШТЕЙНА СВЯЗЫВАЛИСЬ С НЕиРЕРЫВНЬШИ ФУНКЦИЯМИ, Ю ФОРМА ИХ ОКАЗАЛАСЬ НАСТОЛЬКО аЕРСіїЕКТИВШ Л,ЧТО •ЕЕ УДАДОСЬ ПРИСПОСОБИТЬ И К ПРИБЛИЖЕНИЮ ДО ДО ЛЬЮ ШИРОКИХ
классов функция разрывных . так,
ТУТЩфРЫ В[ 7 ОЗНАЧАЮТ ССЫЛКИ НА СЇЇИООК ЛИТЕРАТУРЫ,ЮМЕ-' ЦЕННЫЙ В КОНЦЕ.

Л. В. КАНТО НО ВЕЧ ПОКАЗАЛ/ТУ,ЧТО ЮДйБОШ ФОРМЫ БЕРНШТЕЙНА
л+'ї

ГДЕ^-иРО И 330 ДЬНАЯ СУШИРУШАЯ НА/^//ФУНКЦИЯ, А
(*> ^/jV/kUt
у /j/ Д/ I
- ИНТЕГРАЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ /wZ В fctv-' *Ь+
jO - С-У Н/ У /г [ /-, а
ВС ВСЕХ ДОЧКАХ ДЕБЕТА ' ФУНКЦИИ ^ґА Т.Б.. ДОЧТИ ВЕЗДЕ НА А <7 ; ТОЧНО ТАКЖЕ ДОДИГОМЫ <Ю?Ш БЕРНШТЕЙНА /Г7
/ Ж *7"^J fг ~і
: /77./7с ■
. /-V/
(В)
ГДЕ /Й/-ДЮБАЯ ИЗМЕРИМАЯ НА А А ФУНКЦИЯ ,А
( т
- - 2,
-МЕТРИЧЕСКАЯ СРЕДНЯЯ і Ъ'/ В І ~ijІАГОШ, ЧТО
3° /А/» (?/! (/:/G-. /Л'У
ED ВСЕХ ТОЧКАХ Ш>Ю КСШАТИВЮК НЕПРЕРЫВНО С ТИ ФУНКЦИИ //У,
1Е. ТАКЖЕ ДОЧТИ ВЕЗДЕ НА М'1].
ТАКИМ ОБРАЗОМ С ПОМОЩЬЮ ШДИШДОЗ БЕРШТЕЙНА (А) И
УКАЗАННЫХ Д.В.КАНТОРОВИЧЕМ ОБОБЩЕНИЙ ИХ (Б)Л (В) В /ДОДДОМ О Б" ЕМЕ О КА8АД01СЬ ЗВЭВЬ ДОКАЗАННОЙ ТЕОРЕМА ФРЕШЕ (1906)
О ТОМ, ЧТО НГО ИЗДОЛЬНАЯ ИЗМЕРИМАЯ ФУНКЦИЯ МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВ ЦЕНА В ВИДЕ ііР ЕДЕ ДА ДОЧТИ ВЕЗДЕ СХОДЯЩЕЙСЯ ДО С ДЕД)
ВАТЕ ДЬЮ С ТИ ДОЛИНОЮ В. ЭТО ОБСТОЯТЕЛЬСТВО ОСОБО ЗАМЕЧАТЕЛЬНО ТЕМ,ЧТО КАК. ТБО РЕМА ФРЕШЕ, ТАК И ЧАСТШЙЕЕ СДУЧАЕ-ТВ0Р®1А ВЕЙ" ЕРИ ТРАС С А, УТВЕРЖДАЯ ФАКТ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРИБЛИЖАЮЩИХ ДО, ДИ-ДО ДО) В, Г. НЕ . ДАЮТ СДОООБА ИХ /ПОСТРОЕНИЯ ЭФФЕКТИВНО.
ЗАМЕТИМ ЕЩЕ,ЧТО /ТОДЙІЮШ (В) СКАЗЫВАЮТСЯ СХОДЯЩИМИСЯ К dfo) НЕ
Jl,
ЧТО И ШЛО ШЛО ПОКАЗАТЬ.
НЕТВДЮ УСМОТРЕТЬ ПОЛНУЮ АНАЛОГИЮ ЛРЙВЩЕШШ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ С ТЕШ, КОТОРЫЕ ДАНЫ В § 3. РАЗЛИЧИЕ СОСТШГ ТОЛЬКО В Ш, ЧТО ТАМ' ПРИМЕНЕНЫ НЕРАВЕНСТВА ГЕЛЬДЕРА И БУШКОВС НО ГО-КОШИ В ВИДЕ КОНЕЧНЫХ СУММ, А ЗДЕСЬ - В ИНТЕГРАЛЬНОЙ «СИЕ. ЯСНО, ЧТО ПРЕИМУЩЕСТВА НА СТОРОНЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА МЕТОДОМ Й.П.НАТАИСОЯА.