Тождества в алгебрах ли

• Автор: Бахтурин, Юрий Александрович
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 260 c. : ил

Глава I. Многообразия алгебр Ли

1.1. Тождества и многообразия

1.2. Полиоднородные многообразия. Процесс линеариза -ции

1.3. Произведение многообразий

1.4. Теоремы о вложении

1.5. Свободные алгебры многообразий. Тождества

1.6. Свободные алгебры многообразий. Подалгебры

1.7. Метабелевы многообразия

1.8. Комментарий

Глава 2. Специальные алгебры Ли: структура, тождества, приложения '

2.1. Сводка некоторых результатов об ассоциативных

РІ - алгебрах
2.2. Некоторые результаты о конечномерных алгебрах Ли. §?
2.3. Общие результаты о специальных алгебрах Ли . . . ?8
2.4. Структура специальных алгебр Ли над полем харак -теристики нуль
2.5. Тождества специальных алгебр Ли над полем харак -теристики нуль
2.6. Универсальная обертывающая конечномерной алгебры Ли. Некоторые результаты и применения
2.7. Тождества универсальной обертывающей алгебры
2.8. Приложение: описание алгебр Ли, все неприводимые представления которых имеют конечную ограничен

ную степень

2.9. Тождества универсальной обертывающей алгебры
для супералгебры Ли
2.10. Комментарий
Глава 3. Тождества в конечных алгебрах Ли
3.1. Некоторые условия конечности
3.2. Одна характеризация многообразия, порожденного конечной алгеброй Ли
3.3. Критические алгебры
3.4. Критические алгебры из класса С ( ^ , гп , с ) J9S
3.5. Многообразие
3.6. Главные централизаторы и максимальные подмного -образия
3.7. Локально конечные многообразия алгебр Ли
3.8. Описание разрешимых почти кроссовых многообра
ят-тй
3.9. Комментарий
Литература
Алгебры Ли изучаются в математике уже более ста лет. Многообразны и естественны ситуации их возникновения. Велико разнообразие методов, применяемых для исследования. Неуклонно растет число приложений в математике и за ее пределами.
Истекшие десятилетия убедительно доказали плодотворность подхода к теории алгебр Ли с различных точек зрения. Эту мысль легко проиллюстрировать на примере творчества советских математиков, добившихся крупных успехов в изучении алгебр Ли:
Н.Г.Чеботарева, А.И.Мальцева, А.И .Ширшова, А.И.Кострикина и других.
В последние десятилетия с ростом интереса к бесконечномерным алгебрам Ли возрос интерес к алгебрам Ли, в которых выполняются тождественные соотношения. То, что эти алгебра -не экзотика, хорошо известно. Например, такие алгебры естественно возникают при изучении проблем бернсайдовского типа в группах, к ним относятся все конечномерные алгебры Ли и алгебры Ли векторных полей на многообразиях конечной размерности и т.п. Изучение алгебр Ли с тождествами, увлекательное само по себе, интересно приложениями к другим разделам алгебры: теории колец, теории груш, теории представлений. Велика и внутренняя роль тождеств в теории алгебр Ли. Их назначение - классификация в самом общем смысле. Впрочем, в ряде конкретных случаев слово классификация имеет более точный смысл. Например, конечномерные простые алгебры Ли над алгебраически замкнутым либо конечным полем вполне задаются совокупностью своих тождеств.
В настоящей работе при изучении алгебр Ли с тождествами мы делаем основной упор на те части теории этих алгебр, которые тесно связаны с применением методов ассоциативных алгебр

НОСТИ букв Лу , ^ , в которой
- наибольшая буква.
Согласно доказанному в цитируемой работе А.И.Ширшова, в базисную запись любого из одночленов системы (II) правиль -ный неассоциативный одночлен, получающийся единственной расстановкой скобок на ассоциативном носителе этого слова, вхо -дит с коэффициентом I. Переходя к какому-либо конечно-порожденному подмодулю модуля М (например, к его полиоднород -ным компонентам), мы немедленно получим, что конечные подмно -жества множества (п) получаются из конечных подмножеств свободного множества правильных неассоциативных слов линейным преобразованием с унитреутольной матрицей над Л . Ясно, что тем самым утверждение леммы доказано.
Полезной в дальнейшем является явным образом связанная с только что доказанным утверждением
Лемма 2. Пусть , а1 > ^ - элементы некото -
рой алгебры Ли. Тогда справедливо тождество
СЬ0 ». > СС(Ь
Очевидное индуктивное доказательство этой леммы предо -ставляется читателю.
ъ+1
(-1) а & а-... а} & а; а> . * 1 % 0