Об исчислении точек

• Автор: Семенович А.Ф.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1948
• Место защиты: Свердловск
• Количество страниц: 91 с.

С ОД Е' Р Ж А Н И Е

Введение

§ I.' Аксиоматическая база

§ 2. Исчисление точек с помощью аксиом Дезарга

. Конгруэнтность

§ 3. 'Исчисление точек с помощью аксиом..Дезарга.

■ Сложение

§ 4. Исчисление точек с помощью аксиом Дезарга.

умножение

§ 5. Исчисление точек с помощью аксиом Дезарга.

Предложения порядка

§ 6. Дезаргова аналитическая геометрия и)
§ 7. Сравнение трех исчислений точек
§ 8. Об "исчислении кондов"

В известной книге "Основания геометрии1’#.Гильберт, исследуя значение теорем Дезарга и Паскаля -Паппа, дважды рассматривает так называв .мое исчисле-. ние отрезков. Это исчисление веяний раз вводится таким образом, что точки, которые комбинируются в исчислении, образуют поле .»принимаемое затем в качестве базы для построения аналитической геометрии. Введение исчисления отрезков в первом случав
V
/см.Гильберт, Основания геометрии, § 15 -/производится. ка основании аксиом 1^. ■, П, Ш, 1У системы
Гильберта, т.е. на основании плоскостных аксиом всех групп, за исключением аксиом непрерывности.
В исчислении участвуют отре.зки, расположенные произвольно.
Для определения действия умножения отрезков Фиксируется прямой угол 0, на одной стороне, которого от вершины 0 откладывается произвольно выбранный отрезок ОЕ = е, остающийся затем неизменным и называющийся единичным.
Определение Т. Отрезок 0С=с называется произведением отрезков 0А*а и 0В=в, если он получен следующим построением:
на стороне ОЕ'Фиксированного прямого угла от вершины 0 откладывается отрезок ОБ, отрезок ОА откладывается от вершины на .второй стороне этого угла; чере©'точку В параллельно прямой .ЕА проводится
х/ Всюду имеется в виду; оСел,
Н&оъпяАгМ,'' > ъЁ&цьъ-ьд и. /950.

прямая, которая отсекает от второй стороны угла отрезок ОС /черт.1/.
Для определения умножения отрезков можно было бы использовать и произвольный /не прямой/ угол /черт.2/.
Легко показать, что определенное чертежом 2 умножение отрезков также обладает всеми свойствами умножения действительных.чисел.
Докажем, например, однозначность- этого умножения
Если для четырех отрезков имеют место
конгруэнции:
А*«/, *’»/', с!=.а>-£',-
то имеет-.место конгруэнция: с-с
если тодько е=е'
Для одного и того же угла /или конгруэнтных уг лов/, с помощью/которого находится произведение от ре зк ов дока зательств о ясно непосредственно из построения.
■Пусть произведение о.трезко в ■ и £ находится с помощью угла .АОВ., а произведение отрезков />/-с помощью угла А^О^Б^, не конгруэнтного углу АОВ.
Для доказательства приложим угол А^О^В^ к углу АОВ, как в черт.З. Тогда, применив теорему Дезарга К треугольникам CFC' и $£& , получим, что прямые СО' и 2)2>' параллельны. Поэтому *<*'=+/3'.
Но = . Следовательно, будут иметь место
Таким образом на базе аксиом1 системы
Гильбер та и; аксиом Дезарга при предположении коммутативности изучаемого умножения точек оказывается возможным '■ доказать предложение:
Если- точки' Щ,-’-В, Р,.%, А^. Р1 таковы, что Ер,
I I •'
В,Р инцидентны прямой ОМ, а Е2, А ,. Р. инцидентны
прямой ОМ и всё они 'отличны от. точки пересечения прямых: О/У и ОМ, й если имеет место .одно, из соотношений?
■Ер А1 X ЗР1 х '1/У ' X : У
• ' — ■ — /• ••••••#• #/х
ЕХ А1 х ЗР1 х М/^ х Ех А1 • ^ ; "
а также имеет место' одноиз соотношений V.
“2 Б х АХР х МА' •= У '■ • I. - ,
/ • « • • • • •• • #/11
... Е2 в х А*Р- X МЛ/ х Е2Б : I ■
то имеет место и одно из.следующих соотношений
Е9Ет х РР^ х-М/ " *2 •
с . / /ПТ
;■ -Е2 ;ЕГ X РР1 X }^х“ Е2В самом деле, если имеет.место одно из сооткоше-ний /I/, то треугольники-ВМ- -и А^Р^окаэыва/Ится удовлетворяющими первой аксиоме' Дезарга, поскольку - ЕрВ-х■ А^'р и ЕрМ х А^= ; и поэтому точка Рр г ВМ х р/ - лежит
на одной прямой с точками. 0 и Ар.. Но тогда по определению умножения точек ..имеем;-