Теоремы комплексного восстановления и некоторые их применения

• Автор: Костава, Бикенти Абесаломович
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 100 c. : ил

Теоремы типа восстановления исторически возникли как вспомогательный аппарат для исследования различного рода асимптотических задач в теории случайных процессов. Наиболее привлекательным моментом является общий характер теории восстановления, которая может быть развита совершенно самостоятельно на чисто аналитической основе, не связанной с какими бы то ни было вероятностными или невероятностными аспектами. Именно это обстоятельство во многом определяет широту приложений теории восстановления.
Перенос основных результатов теории восстановления на комплекснозначный случай актуален прежде всего с точки зрения внутренних потребностей теории. В то же время не вызывает сомнений возможность широких применений комплекснозначных теорем типа восстановления
В диссертации преследовались две основные цели. Во-первых, перенести на комплекснозначный случай основные теоремы классической теории восстановления: элементарную теорему, теорему Блекуэл-ла и узловую теорему Скита. Во-вторых, продемонстрировать возможности применения этих теорем. Моделью для применения были выбраны граничные задачи для процессов с независимыми приращениями. Другие модели, такие как ветвящиеся процессы, эргодическая теория и некоторые другие, в диссертации не рассматриваются.

Несмотря на то, что теоремы типа восстановления ранее изучались в работах О.В.Вьюгина 12], Д.С.Сильвестрова [22], С.В.Нагаева 16, В.М.Шуренкова [291, применяемые там методы оказались непригодными в комплексном случае. В диссертации предложен новый метод исследования, основанный на теореме Винера о локальном обращении преобразований Фурье.
Применения теорем типа восстановления к граничным задачам для пуаесоновских процессов опираются на так называемый метод потенциала, разработанный в работах В.С.Королюка, В.М.Шуренкова и их учеников [9,12,26] , и также получивший в диссертации некоторое дальнейшее развитие.
Полученные в диссертации теоремы типа восстановления переносят на комплекснозначный случай ряд ранее известных утверждений, получивших в свое время название переходных явлений. При этом, по-видимому, используется минимальное число предположений. По своему содержанию все приведенные в диссертации теоремы типа восстановления являются новыми. Научная новизна предельных теорем для граничных функционалов от полунепрерывных пуаесоновских процессов состоит в том, что изучается совместное предельное распределение момента выхода за бесконечно растущий уровень и положения в этот момент двумерного процесса с независимыми приращениями.
Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.
Первая глава диссертации посвящена теоремам комплексного восстановления. Точная постановка задачи такова.
Пусть , - последовательность комплекснозначных
непрерывных справа функций ограниченной вариации на [0,°°)

Предположим, что функции &п(х) близки к вероятностной непрерывной справа функции распределения П^се) в следующем смысле: (АП 1щ &п(х) = асх)
в каждой точке х непрерывности функции Сг(Х) и, кроме того,
(А2) I -ЙЛ(у)| ^ I Й(зс') - 0^)1
для всех X, Ц >
Через На(х) обозначим Функцию восстановления, соответствующую функции Сг^(а:) , а через Н(х)- функцию восстановления, соответствующую й(Х) , Т.е.
оо оо
н„(1) = £ аг*(х), н<х)= У аг*(х).
2=0 2
Основная цель первой главы состоит в исследовании асимптотического поведения свертки функции восстановления Н^(х)с интегрируемой на [0,оо) функцией -Р(х) . Точнее, нас интересует поведение £*Н^(:с), когда и,х изменяются таким образом, при Х-~со,х£-*~С* где
Ч п, гь
При этом предполагается, что выполнены условия

(АЗ) 0 пг = j х с1& Сх) < >

(А4) функция распределения й(Х) нерешетчатая.
Основной результат первой главы состоит в том, что при выполнении комплекса из четырех условий (А) и комплекса условий
(В) х оо 7 ц—-ос, х£„-*~С £е С > О,
а. ?
для любой монотонной интегрируемой функции Нх) на С0,°<з) имеет место соотношение

Глава II
ПРИМЕНЕНИЯ К ГРАНИЧНЫМ ЗАДАЧАМ
§ I. Предельная, теорема для сумм неотрицательных независимых случайных величин
Пусть двумерная последовательность и= 0,1,2
такова, что £ = 7) = 0 и пары величин (£пн~£п, 7]цН~г)п)> п= 0’1’2>-’> независимы в совокупности, одинаково распределены, и ^о с вероятностью 1. Обозначим Gr(dx,dy) = Р{^6dx, - общее
распределение для (Д ^ -£п , ^+1 -
Так как 4,^0 ,то Д монотонно возрастает до бесконечности,
за исключением того единственного случая, когда 4-0 с вероят-

ностью I. Этот вырожденный случай мы исключим из дальнейшего рассмотрения.
Здесь нас интересует предельное поведение совместного распределения трех величин
zw’ Ч(*ГЖ' (х) "Р"
где ЪСх) = ъх} - момент первого выхода последовательности &,п за уровень х > 0 •
Обозначим
Сг(х) = Р (4i < х} ,