Некоторые вопросы аппроксимации непрерывных функций гармоническими

• Автор: Сливняк И.М.
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1949
• Место защиты: Харьков
• Количество страниц: 46 с.

я' •*_ I/- /Л4‘ -»«.*_
**-* -'р*' к-£«^2" л-m^JTk
К- 1 «
/Х/Г^. ?j*T-9+y~rНастоящая работа посвящена некоторым вопросам,связанным >с проблемой равномерной аппроксимации непрерывных на замкнутом г-шожес.тве $, •• Ъ — плоскости, функций 2(ъ) аналитическими на функциями.. ... • -
Нас интересуют условия, характеризующие множества, на которых любая непрерывная функция $(г> может быть равномерно аппроксимирована аналитическими; в дальнейшем-та-' .. -кие множестве будут называться множествами.
Как показали Гартогс и Розенталь £-13' • , если имеет плоскую меру нуль,” то/ око является ск- !ДНОкесТЕОМ..•
-В частном .случае, при аппроксимации полиномами, ис-
черпывающее решение вопроса содержится в известной теореме М.А.Лаврентьева М.:-
множества, на которых любая непрерывная .комплекснозначная функция может быть .равномерно аппроксимирована полиномами от ^ , совпадают с ограниченными, замкнутыми, нигде -не плотными множествами, не разбивающими -•
ПЛОСКОСТЬ. /■ •/ ' ■■
' В общем случае такое полное решение Еопроса., насколько нам известно, не найдено.
Н. С. Ландкосф. [3] . получил для о1 — множеств необходимые условия, -формулируемые в терминах теории потенциа-ла. В бра бота проводится исследование этих условий.
Будем в дальнейшем понимать под ограниченное,
замкнутое, нигде не плотное, множество г- плоскости. Из соображений, которые станут ясными .в §1, диаметр ■ & пред-полагается . <(1 ' ... .
Пусть Сс - линейное нормированное пространство <к
вещественных, непрерывных .на функций нормой
ІЄН , •
Ц ^ - вещественная линейная оболочка .гармонических на <Й функций-('Ос. ~—■ , '
- вещественная линейная оболочка функций Г > ^ & ■
• - • ' ' ІЄ" V
Условимся называть^ у—множеством', если система плотна в С-д , и -А- множеством,, если система ЩіГ"
пло,тна в
Как известно,_ любая -аналитическая на функция
. можетф быть равномерно на '<£ - аппроксимирована линейными комбинациями функций у у г & ..Если является
о1- множеством, то это же справедливо и для всякой непрерывной на ^ функции. Переходя к' вещественным яастям,'
- . • . . •' '■ . '
' видим’, что является г- множеством. Таким образом,
класс <Х-.множеств содержится в классе У— множеств. Вопрос о аовпадении- этих классов,- насколько нам известно, не решен,.- -
Класс у- 'множеств .содержится в свою очередь в. •
• классе .множеств, так.как система ^ плотна в ч
( в метрике' С^ ). Такты образом,-; если понимать под ЕГ^
Еу;Е^классы соответственно ок.— (у- и множеств, то
;ф .' - ■ ' :
-Л— и у- множества характеризуются следующим'образом. V.
Как"известно, всякий линейный, функционал* опреде— . ленный на , ' представим в виде: ,:где ./А) -
вещественная, вполне аддитивная функция-множества, •
Если" система «е .плотна з .Су , то найдется такая
функция хл ,. ч то ^ г1н-(ъ£ -=- о , В то Время как
] - ' - &