Спектральные характеристики квантовых графов типа "звезда"

• Автор: Берколайко, Григорий Маркович
• Шифр специальности: 01.00.00
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Бристоль
• Количество страниц: 135 с.

Аннотация
В работе рассмотрены двухточечные спектральные статистики некоторого класса квантовых графов в пределе при числе вершин стремящемся к бесконечности. Статистики получены двумя различными методами. Первый метод использует точную формулу следа и комбинаторную классификацию периодических орбит па графе. Второй метод состоит в прямом использовании трансцендентального уравнения на собстенные значения для получемия статистик его нулей. Мы показываем, что оба подхода приводят к эквивалентным результатам. Первое из выведенных выражений имеет форму степенного ряда и является более эффективным для численных вычислений. Второе выражение получено в форме несобственного интеграла, удобной для изучения сингулярностей форм-фактора (преобразования Фурье двухточечной корреляционной функции). Мы также показываем что спектральные статистики совпадают с уже известными статистиками биллиарда Шебы и обсуждаем причины такого совпадения. В качестве применения разработанных комбинаторных методов мы выводим точное выражение для квантовой вероятности возврата на бесконечных регулярных деревьях. Анализируя полученное выражение численно мы приходим к выводу, что для некоторых значений параметра вероятность возвтрата стремится к ненулевому пределу и, как следствие, получаем су-шествование локализованных собственных состояний.
Аннотация и
1 Введение
2 Определения и предварительные замечания
2.1 Определения
2.2 Вывод условия квантования
2.3 Свойства матрицы ЮБ. Формула следа
2.4 Геометрический смысл матрицы Б
2.5 Сглаженная формула следа
2.6 Спектральные статистики
2.6.1 Средняя плотность
2.6.2 Двухточечная корреляционная функция
2.6.3 Форм-фактор
3 Форм-фактор для графа типа “звезда”
3.1 Разложение форм-фактора
3.1.1 Общие формулы
3.1.2 Вычисление К (т)
3.1.3 Вклад у = 2
3.1.4 /ГДт) для произвольного j
3.2 Суммируемая аппроксимация
3.3 Численный анализ разложения в ряд
4 Квантовая вероятность возврата для деревьев
4.1 Определения
4.2 Рекуррентное соотношение для вероятности возврата
4.3 Локальный вклад класса вырождения
4.3.1 Случай В — 2
4.4 Обобщение результатов для полного дерева
4.5 Численное исследование
4.5.1 Параметры Ры
4.5.2 Вычисление Ы {ту, т2,тд)
4.5.3 Результаты численных исследований
4.6 Предел при больших В
5 Интегральное представление
5.1 Постановка задачи
5.2 Средняя плотность
5.3 Двухточечная корреляционная функция
5.3.1 Рецепт
5.3.2 Ингредиенты
5.3.3 Результат
5.3.4 Свойства функции М(и)
5.4 Разложение в ряд при больших х
5.5 Особенности форм-фактора
5.6 Предел Л2(т) при малых х
5.7 Сравнение графов типа “звезда” и биллиардов Шебы (БеЬа)
А Комбинаторные результаты
А.1 Основные свойства классов вырождения
А.2 Разбиение целого числа
А.З Перестановки без связей
В Список обозначений

3.1. Разложение форм-фактора
3.1.2 Вычисление Щт)
К (г) представляет собой вклад от орбит, которые проходят только одно ребро. Все множители в К{т) являются теми же самыми, что и для общего у, за исключением того, что множитель исчезает вообще.
Действительно, вес орбиты, которая проходит только через одно ребро, представляет собой гк, а не гк~1Ь. Число орбит в классе вырождения с 3 = 1 очевидно: оно равно IV“' = 1 /к при ді = 1 и 0 в противном случае (здесь ві = к). Это число принимает во внимание повторения: существует только одна орбита и она имеет гр = к.
Приведя в соответствие ур. (3.1.9), получим
К Ат)
В-> со
ехр (—4т), (3.1.13)
где т = к/В полагалось постоянным.
Как мы увидим ниже, этот вклад является преобладающим при малых т. Следующим является вклад от орбит, которые пересекают только 2 различных ребра; он имеет порядок т3 при т —¥ 0.
3.1.3 Вклад
Вклад при 1 = 1 относительно прост и будет рассмотрен отдельно для иллюстрации нашего подхода. Он имеет вид
К2(т) = 1т2ехР(-4т)Я2 (3.1.14)
где #2 = Ни1в-юо Щр- есть величина, которую мы теперь хотим вычислить. Выписывая формулу для Н2(В), приходим к заключению, что

Я2 = В10Д (3-1Л5)

где И(8Ь82)(1?) суть вклад от орбит, которые пересекают только два ребра и в2 раз соответственно. Теперь воспользуемся тем фактом, что при