Свойства некоторых нелинейных псевдодифференциальных операторов в пространствах функций дробной гладкости

• Автор: Бесов, Константин Олегович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1. Функциональные пространства

2. Операторы

Глава 2. Операторы Немыцкого

3. Предварительные замечания

4. Достаточные условия непрерывности

5. Непрерывность автономных операторов

6. Приложения

Глава 3. Порождающие норму операторы

в пространствах ГГДИ)
7. Порождающие норму операторы*8»аб(У5рактных нормированных пространстЛ^^^^'???
8. Общий вид порождающих норму операторов
в пространствах У‘
9. Дальнейшие свойства порождающих норму операторов

Глава 4. Задачи на собственные функции
10. Предварительные замечания
11. Модельная задача
12. Общий случай
13. Задачи с порождающими норму операторами
в главной части
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена изучению свойств некоторых нелинейных операторов в пространствах дифференцируемых функций дробной гладкости и нахождению условий разрешимости (как достаточных, так и необходимых) связанных с ними краевых задач. При этом основное внимание уделяется нелокальным операторам, которые в линейном случае (на Кп) суть обычные псевдодифференциальные операторы, а в нелинейном обладают рядом аналогичных свойств. Отдельная глава посвящена нелинейным локальным операторам (значения таких операторов на функции и в точке х е Кп определяются значениями самой функции и и ее производных в точке х). Найдены достаточные условия непрерывности и дифференцируемости по Фреше таких операторов (обобщающие известные ранее условия) и условия разрешимости задач на собственные функции для операторов смешанного типа (т.е. для суммы локального и нелокального операторов).
В настоящее время теория краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений является одним из интенсивно развивающихся направлений. При этом основное внимание в современных исследованиях уделяется теории полулинейных и квазилинейных операторов и уравнений с частными производными в пространствах С.Л. Соболева и различных их обобщениях (весовые пространства, пространства Орлича-Соболева, пространства дробной гладкости и т.д.). А именно, рассматриваются операторы вида
и —> £и, $.и(х) = /(я, п(ж), 7п(ж),..., Ушц(х)), х Е £7, (1)
или более общего дивергентного вида
Ы(х) — X) (—1)^-0°/аи{х), ^^(я),..., Ути(х)), х € (2)
|о:|<ш

где через условно обозначена совокупность всех частных производных И01 и функции и порядка |а| = т. Оператор (1) можно охарактеризовать как общий нелинейный оператор суперпозиции или “обобщенный оператор Немыцкого” (мы будем придерживаться второго названия).
Квазилинейные дифференциальные операторы являются важным классом нелинейных дифференциальных операторов, при этом они имеют более простую структуру и легче поддаются исследованию. Достигнутый прогресс в их изучении частично объясняется тем, что некоторые методы, разработанные для линейных уравнений, удалось применить и в случае квазилинейных (например, методы априорных оценок [22, 75, 26, 33], конечномерных аппроксимаций [25], принципы максимума и сравнения [65, 10]). Однако активное развитие теории квазилинейных уравнений за последние полвека связано с появлением принципиально новых методов, среди которых сравнительно с линейным случаем большую роль играют уже не аналитические, а геометрические (топологические) методы исследования (Г. Аманн [44], А. Бёрлинг и А. Ливингстон [51], Ф. Браудер [57, 58, 60], X. Брезис [52], М.М. Вайнберг [4], Ю.А. Ду-бинский и С.И. Похожаев [15], Р.И. Качуровский [19], Г. Минти [78], И.В. Скрыпник [34, 36]). Следует упомянуть также известную монографию М.А. Красносельского [20]; методы, разработанные там для интегральных уравнений, нашли применение и для дифференциальных.
Некоторые продвижения имеются и в изучении общих существенно нелинейных задач [90]. Однако серьезные трудности здесь связаны с тем, что к ним неприменимо большинство известных методов.
В диссертации существенно используются методы теории нелинейных монотонных операторов. В развитие этой теории большой вклад внесли работы М.С. Бергера [49, 50], Ф. Браудера [55, 59], X. Брези-са [52, 54], М.М. Вайнберга [5], М.И. Вишика [7, 8, 9], Ю.А. Дубинско-го [12, 13, 15], Р.И. Качуровского [18, 19], Ж. Лере [73], Ж.-Л. Лион-са [25, 76], Г. Минти [78, 79], С.И. Похожаева [28, 30, 31], И.В. Скрыпни-ка [34, 36], Н.С. Трудингера [88, 89] и других авторов. Для нас в первую очередь важны достаточные условия разрешимости задач с монотонными операторами и существования собственных функций таких операторов. Заметим, что одновременно ведется поиск и необходимых условий (см., например, Э. Митидиери и С.И. Похожаев [26]). Большое внимание современных исследователей привлекает также направление, посвященное

равномерную по функциям и таким, что дги/дхг > а > 0 и ЦпЦс' < К. По условию теоремы найдется такое е < а, что имеет место (5.1). Зафиксируем его. Так как г-я производная функции и положительна, она имеет не более г участков монотонности. Достаточно рассмотреть случай, когда множество В, по которому идет интегрирование, целиком лежит на одном из таких участков. Тогда в (5.5) можем выполнить замену переменных х —у и(х):
причем и(В) С [—К, К] и |гл(2?1)| < К8, так что величина (5.6) есть о(1) при 8 —> 0 равномерно по и из рассматриваемого множества.
На Б^-, ^’ > 2, применим неравенство Гёльдера
Первый множитель в правой части (5.7) конечен в силу (5.1) и не зависит от функции и из рассматриваемого множества. Во втором интеграле выполним обратную замену переменных и —> х:
Представим множество В в виде объединения В — 1)^=1 Вгде
Б7 = {же (0,1): |г/(ж)| <£,..., |и^_1^(ж)| < е, |д^(ж)| > е}
Для В имеем и'> е т
(5.6)
(5.7)
где £] > 0 выбрано из условия
ЗР+ (7-1)е 3!)
р
Г- + - -~ГГ
(5.8)