Разрывная функция цены в игровых задачах быстродействия

• Автор: Камнева, Людмила Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 120 с. : ил.

Основные обозначения

1 Достаточные условия совпадения разрывной функции с функцией цены в игровых задачах быстродействия

1.1 Постановка задачи

1.2 Свойства и- и и-стабильных функций

1.3 Свойства функции цены игры

1.4 Теорема 1 о достаточных условиях

1.5 Теорема 2 о достаточных условиях

1.5.1 Корректно сжимаемые множества

1.5.2 Формулировка и доказательство теоремы

1.5.3 Пример

2 Достаточные условия стабильности функции в терминах сингулярных точек

2.1 Критерии стабильности полунепрерывной функции
2.2 Простейшие сингулярные точки
2.3 Рассеивающие и экивокальные сингулярные точки
2.4 Теорема 3 о достаточных условиях стабильности
3 Управление материальной точкой на прямой при наличии помехи
3.1 Постановка задачи
3.2 Обоснование решения задачи

4 Игровая задача о брахистохроне
4.1 Постановка задачи
4.2 Характеристическая система для уравнения Айзекса - Веллмана
4.3 Первичные семейства характеристик
4.4 Построение рассеивающей линии
4.5 Построение экивокальной линии при к > ни2
4.6 Вторичное поле характеристик при к > ю2
4.7 Определение функции ср(-)
4.8 Обоснование решения задачи
Литература

Основные обозначения

(х,у)

со Л А дА int Л
0.(0 : G
Vw(rr) А + В АхВ В (z,r)

Ck{G)
о{5)
— множество вещественных чисел;
— n-мерное евклидово пространство;
— скалярное произведение векторов х я у;
— евклидова норма вектора х, равная (х,х)^;
— выпуклая оболочка множества Л;
— замыкание множества Л С Rn
— граница множества Л С Rn
— внутренность множества Л С Rn]
[О, оо] — функция w(-), определенная на множестве G и принимающая неотрицательные вещественные значения или несобственное значение оо;
— градиент функции ш(-) в точке х £ Rn
— алгебраическая сумма множеств А, В С Rn
— декартово произведение множеств А, В С Rn
— n-мерный замкнутый шар радиуса г > 0 с центром в точке г £ Rn
— транспонированный вектор z £ Rn;
— пространство функций у(-) : G -> R, непрерывных на G и к раз непрерывно-дифференцируемых на int G;
— величина большего порядка малости, чем величина 5, т.е. о(5)/8 —► 0 при <5 —» 0.

Глава

и такое, что р(Ь) = Уш(х(Ь)) [9]. Из последнего равенства следует, что через любую точку регулярной области проходит единственное решение х(-) дифференциального уравнения х = Нр(х, Уо>(:г)), которое будем называть характеристикой уравнения Айзекса - Веллмана (2.13). Таким образом, в любой регулярной области определено поле характеристик.
Условие седловой точки (1.4) обеспечивает существование функций ии(х) и К,(х) таких, что
Н(х, Vи(х)) = (Ус>(х), /(ж, СДт), Уш(х))).
В регулярной области Со имеем
Нр(х, Чш(х)) = /(ж, иы{х), Уы(х))
и функция ж —> Нр(х,Х7и>(х)) принадлежит классу СфСо). Следовательно, позиционные стратегии Кф)> определенные в области Со, порождают движения, идущие вдоль характеристик. Функции 6Д(-) и Уи(-) ограничены и, значит, имеют конечные частичные пределы для любого х € <9С0.
Определение 2.2. Точка гг € С, для которой существует регулярная открытая область Со С С, содержащая ж, называется регулярной точкой, иначе точка называется сингулярной.
Поверхности, состоящие из сингулярных точек, будем называть сингулярными поверхностями.
Определение 2.3. Сингулярную точку х* 6 С назовем простейшей, если существует окрестность Со С С точки х*, такая, что
1) функция и непрерывна на Со;
2) Со = С+иГиС_, где Г - гладкая гиперповерхность, С± - регулярные области;
3) функция Уоф) : С± —> Кп имеет непрерывное продолжение на гиперповерхность Г.
Пусть Е(со) - множество простейших сингулярных точек функции ш(-) : С —■> А. Для точки х* € £(сф будем использовать следующие обозначения: С± - регулярные области (из определения простейшей сингулярной точки), разделенные гиперповерхностью Г; аС(-) - сужения функции и(-) на