Управление спектром периодических систем возмущениями минимального ранга

• Автор: Сивков, Дмитрий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 108 с. : ил.

Г ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. «Современное состояние проблемы»

1.1. Задачи управления показателями Ляпунова

1.2. Построение возмущений потенциала в уравнении Шредингера

ГЛАВА 2. «Управление спектром постоянного оператора»

2.1. Конечномерная система

2.2. Связанные электрические колебательные

контуры

2.3. Система с постоянным оператором

2.4. Вид возмущения в случае простого спектра

2.5. Оператор с кратным спектром
2.6. Построение возмущений
ГЛАВА 3. «Управление спектром оператора монодромии»
3.1. Неавтономная система
ф 3.2. Конечномерная система с периодической матрицей
3.3. Ранг возмущения
3.4. Вид возмущения
3.5. Управление спектром оператора монодромии
4 уравнения в частных производных
^ 3.6. Управление спектром оператора монодромии
уравнения теплопроводности
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Приложение А. Возмущение потенциала в уравнении Шредингера
Классической задачей управления динамическим объектом является задача о нахождении для системы
х = Ах + Ви, х G Мп, и G Rm, t € Ш,
где А и В — постоянные вещественные матрицы соответственно размерностей п х п и п х га, такого управления и = Ux, U £ Rmxn, для которого спектр матрицы т4 + BU совпадает с заданным множеством. Эта задача назначения спектра называется задачей модального управления.
Здесь управление и = Ux строится на основе информации о текущем состоянии объекта и называется обратной связью.
Разрешимость задачи о назначении спектра исследовалась многими авторами. Обзор результатов, относящихся к этой области, дан, например, в [1].
В 1987-89 гг. Г. Г. Исламовым [2-5] была впервые поставлена и решена задача о минимальном ранге линейной обратной связи
х = Ах — Кх,
rank К —> min, (1)
а(А-К) П П = 0,
где О — заданное множество, а {А — К) — спектр матрицы А — К.
В работе [3] доказана следующая теорема, определяющая минимальный ранг матрицы К, задающей линейную обратную связь в задаче (1). Теорема 0.1. Минимальный ранг допустимого возмущения равен мак-

сималъной геометрической кратности чисел X Є
max dim ker (ХЕ — А) = min rank К, лєп
где минимум берется по всем допустимым возмущениям К.
Впоследствии в работе [4] данный результат был обобщен на случай замкнутого оператора А. действующего в банаховом пространстве 23. Теорема 0.2. Пусть множество 61 П а (А) пусто или конечно и состоит лишь из изолированных собственных значений оператора А конечной алгебраической кратности. Тогда
^ min rank К = max dim ker (A — XI),
где минимум берется по всем конечномерным К таким, что выполнено
’ а{А - К) П 61 = 0,
I — тождественный оператор в А).
Г. Г. Исламовым построены конструкции минимальных по рангу возмущений и изучены их свойства [2]. Отметим результат статьи [5], где в случае • нормального компактного оператора А с простым спектром, действующего
в гильбертовом пространстве, дано описание всех одноранговых возмущений с требуемым свойством.
Теорема 0.3. Пусть Ах = ^ /^(ж, (pk)(pk и 61 = {/л^, Цк2, ■■■■, Ткп}, где
к^1
кг < к,2 < ■ ■ ■ < кп, оператор А имеет полную систему ортонормирован-i' ных собственных функций щ Пусть, далее, Кпх = и(х, и), причем
для К — Кп выполнено соотношение
ар(А — К) = {0} U сгр(И) 61.
(2)
придем к уравнению
Р(д)Д = 0. (2.23)
Таким образом, при Д ф 0 ц должно быть корнем многочлена Р(д) . В случае же Д = 0, из (2.17) следует совпадение д и Xj, j — 1,2,... ,п, что противоречит условию Д {АД = <Тр(А).
Пусть £ — корень многочлена Р(д), не принадлежащий ор(А). В этом случае справедливо уравнение (2.23), и из системы (2.17) возможно найти коэффициенты ^ отличного от нуля решения <р спектральной задачи (2.16), являющегося собственной функцией оператора А —К. Следовательно, из предположения (2.15) получаем, что £ 6 0.
Заметим, что А^. не может быть корнем Р(д), так как в этом случае, = 0, что влечет, в силу равенств щ = (а,фк.) и (Зк. = {фкрЬ), для ф — фк., д = справедливость
дф = Аф — (ф, Ь)а, (2.24)
либо
рф = А*ф — (ф, а)Ь, (2.25)
что противоречит предположению (2.15).
Таким образом, корень £ многочлена Р(д) может принадлежать только множеству 0 и (<тР(А) П).
Допустим теперь, что существует «г такое, что Р(щ) ф 0, к, ф ^СД)-Тогда из уравнения (2.23) получаем равенство Д = 0, что эквивалентно (<р,Ь) = 0. Следовательно, Кср = {<р,Ъ)а = 0, и (А — К)(р — Аср, что противоречит равенству (2.15).
Достаточность. Заметим, что при выборе д = Ац ф = фц где г ф Л, выполняется хотя бы одно из уравнений (2.24), (2.25). Отсюда следует включение (стр(А) П) с Ор(А — .Р).