Спектральные характеристики краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота

• Автор: Шегай, Людмила Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 150 с. : ил.

Глава 1. Вычисление спектральных характеристик для краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точкой поворота на левом конце полуоси и с точкой поворота на бесконечности
1.1. Дифференциальные уравнения второго порядка с точками поворота. Асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения при фиксированном значении параметра. Характер спектра краевой задачи
1.2. Равномерные асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения. Асимптотика спектра. Равномерная оценка ядра резольвенты краевой задачи
1.3. Равномерные асимптотические разложения (ряды) для решений дифференциального уравнения
1.4. Построение рекуррентных формул для нахождения коэффициентов асимптотических рядов для собственных чисел.
Вычисление регуляризованных следов
Выводы
Глава 2. Вычисление спектральных характеристик для краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точкой поворота внутри полуоси и с точкой поворота на бесконечности
2.1. Асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения при положительных и при отрицательных значениях аргумента. Характер спектра краевой задачи
2.2. Асимптотика спектра. Равномерная оценка ядра резольвенты краевой задачи

2.3. Асимптотические ряды для решений дифференциального уравнения при отрицательном значении аргумента
2.4. Нахождение коэффициентов асимптотических рядов для
собственных чисел. Вычисление регуляризованных следов
Выводы
Заключение
Список используемой литературы
Приложение 1. Свойства функций Ганкеля
Приложение 2. Дзета-функция Римана
Приложение 3. Асимптотические разложения решений
дифференциального уравнения
Приложение 4. Пример применения полученных алгоритмов (1°, II, III, IV) к решению модельной задачи

Актуальность работы. При исследовании процессов, происходящих в гидродинамике, в теории колебаний, в квантовой механике, при изучении явлений дифракции получаются математические модели, которые описываются дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота. Например,
1. у" + и2х2(х-{Уу = 0,
- математическая модель распространения волн через систему барьеров [39].
2. / +
*лЬ)+р1
у = О,
- математическая модель, описывающая приливные волны [1,14].
3 Л
с!х
м £

[Я-()(х)]у = О,
где /?(*) = (х-х0)_1/г(х), й(х)>0, х0 >0,
- математическая модель, возникающая при исследовании атмосферных явлений и их прогнозировании [40]. В точках поворота процесс резко меняет свой характер. Согласно классической механике, в ней движущаяся частица остановилась бы и начала двигаться в обратном направлении. При переходе через точку поворота меняется характер поведения решений уравнения. Общеизвестны такие уравнения с точками поворота как уравнения Бесселя, Матье, Вебера, порождающие специальные функции.
Дифференциальные уравнения с точками поворота изучались различными методами. Метод ВБК (Вентцеля, Бриллюэна, Крамера) изучения асимптотического поведения решений задач с точками поворота описан в [3]. Он состоит в том, что производится замена уравнения в окрестности точки поворота уравнением, решение которого находится с помощью специальных функций. Затем это решение «склеивается» с решением в остальной части промежутка.

где Л,(х,Я), Я2(х,Л) равномерно ограничены по х и по Я при достаточно больших по модулю Я. Чтобы избавиться в(1.117) от второго слагаемого, содержащего г'-т, сделаем в (1.117) замену
^ у/и
-Я/-'л
2Пт+1
тогда

1 +

ят+1;
, « = 0,1,
•зда+1
и> = 0»
где функция
2 2 1 4 ят+1
(1.119)
(1.120) (1.121)
(1.122)
равномерно ограничена по х и по Д при достаточно больших по модулю Д. Из(1.119)и(1.116о) следует, что для функций и1т и и2т
НиЫ’игт] = ся"
1 +

чт+1
Значит, эти функции линейно независимы при |Я| > М. Представим уравнение Ьу = 0 в виде
я2д+л+-%
” л/и+1
У/ = д£гУ1Соответствующее интегральное уравнение имеет вид
у].(х,Л) = ит](х,Л)+ ХКт (хд, Я) Ы) Л,

где хе[0;/], у = 1,2 |Я|>М>0.
Кт (х, Л Я) = н"иМц«2&.Ь Ц/я2
^[Мт1.Мт2]
(1.123)