Обобщенный принцип сжимающих отображений и периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений

• Автор: Полякова, Лусине Азатовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 128 с.

§1. Обобщенный принцип сжимающих отображений

1.1. Метрические пространства

1.2. Принцип сжимающих отображений для полных метрических пространств

1.3. Принцип сжимающих отображений для компактных метрических пространств

1.4. Обобщенные метрические пространства

1.5. Обобщенный принцип сжимающих отображений для полных обобщенных метрических пространств
1.6. Обобщенный принцип сжимающих отображений для компактных обобщенных метрических пространств

1.7. а - матрицы и Ъ - матрицы

1.8. Свойства а - матриц и Ъ - матриц

1.9. Оценка спектрального радиуса а - матрицы

1.10. Об одной теореме

1.11. Комментарии
§2. Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений
2.1. Постановка задачи

2.2. Периодическая функция Грина
2.3. С - теория
2.4. Ь2 - теория
2.5. Комментарии
3. Периодические решения нелинейных дифференциально
- разностных уравнений
3.1. Введение
3.2. Основные предположения и постановка задачи
3.3. Нерезонансное условие
3.4. С - регулярные дифференциальные операторы
3.5. Периодическая функция Грина
3.6. С - теория: обобщенный принцип сжимающий отображений
и принцип Шаудера
3.7. Ь2 - теория: обобщенный принцип сжимающий отображений и принцип Шаудера
3.8. Пример, теорема Хейса
4. Периодические решения теории автоматического регулирования
4.1. Введение
4.2. Основные предположения и постановка задачи
4.3. Теорема Красносельского и ряд ее уточнений
4.4. Доказательство теоремы Красносельского и ряда ее уточнений
4.5. Ь2 - теория: обобщенный принцип сжимающих отображений

При изучении различных задач теории нелинейных колебаний одно из первых мест (если не первое место!) занимает исследование установившихся процессов, как-то: стационарных (то есть не меняющихся со временем), периодических, условно периодических, почти периодических и т.п. Диссертация посвящена периодическим решениям (вынужденным колебаниям) следующих нелинейных уравнений - обыкновенных дифференциальных уравнений; дифференциально - разностных уравнений и уравнений теории автоматического регулирования. Подчеркнем, что речь идет о периодических решениях с заранее известным периодом (периодом правой части).
Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений могут быть подвергнуты изучению с помощью различных методов - это и метод точечных отображений Пуанкаре - Андронова, и метод интегральных уравнений, метод направляющих функций Красносельского и Перова и вариационные методы и т.д. Диссертация всецело посвящена применению метода интегральных уравнений для исследования периодических решений указанных выше типов нелинейных дифференциальных уравнений.
Метод интегральных уравнений обстоятельно изучен в монографии Е.Н. Розенвассера "Колебания нелинейных систем"[51], имеющих подзаголовок "Метод интегральных уравнений". Интересно отметить, что ме-

2.4. 1/2 - теория
В этом пункте, наряду с константами кр = кр(и>) (см. (2.13)), важную роль играют постоянные [24], [13]
{гкву
= &р{ы) — шах к
Цгкв)
, р = 0,1, ...,п — 1.
(2.45)
Так как стоящая под знаком максимума последовательность стремится к нулю при к —У +оо, то во всех рассматриваемых случаях максимум в
(2.45) всегда достигается.
Покажем, что
(2.46)
причем, знак равенства достигается тогда и только когда после умножения па еш при некоторых вещественных а функция Грина (2.9) становится вещественной и сохраняет, знак. Фиксируем некоторое р = 0,1, ...,п — 1. Так как из (2.9) вытекает, что
0(з>)п)
(2.47)
то при любом целом к
Щкв)
£(?0(г)е-^^,
откуда вытекает оценка
гкв)1
Цгкв)
(2.48)
(2.49)