Дифференциальные включения, содержащие малый параметр

• Автор: Васильев, Александр Борисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Одесса
• Количество страниц: 111 c. : ил

Глава I. УСРЕДНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ИЗМЕРИМОЙ

ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ.

§ I. Вспомогательные сведения

§ 2. Принцип усреднения для дифференциальных включений с

измеримой правой частью

§ 3. Теорема о непрерывности решений дифференциальных

включений по параметру и начальным данным

Глава 2. УСРЕДНЕНИЕ МНОГОЧАСТОТНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ.

§ I. Кратные интегралы многозначного отображения и их

свойства

§ 2. Схемы усреднения управляемых систем с быстрыми

фазами
Глава 3. УСРЕДНЕНИЕ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ СО СКАЛЯРНОЙ ФАЗОЙ.
§ I. Усреднение уравнений управляемого движения
§ 2. Усреднение в задачах с фиксированным временем
§ 3. Усреднение в задачах с нефиксированным временем
ЛИТЕРАТУРА

I. Актуальность темы работы.
Теория оптимального управления является сегодня интенсивно развивающимся разделом современной математики,интерес к которому обусловлен его прикладным характером и потребностями современной техники.
На практике реальные управляемые процессы исследуются на основе идеализированных математических моделей,нередко описываемых системой обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами. В частности,появление малых параметров может быть вызвано наличием в системе управления элементов,инерционные свойства которых отличаются на один или несколько порядков.
Для приближённого решения дифференциальных уравнений с малым параметром используются различные асимптотические методы ^7,16,24, 31,32,34,47,40, среди которых одним из самых распространённых и разработанных является метод усреднения.Этот метод широко применяется при исследовании систем обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменными^,6,7,17,19,20,22,30,32,49, 53,55. ^] ,часто встречающихся в приложениях:теория колебаний,вращение твёрдого тела,динамика космических полётов и т.д.
Актуальность исследований,выполненных в данной работе,определяется тем,что во многих задачах механики и техники,описываемых системами дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми переменными, возникает необходимость в управлении процессом.При этом большой интерес представляет собой разработка различных схем ус -реднения управляемых систем с медленными и быстрыми переменными, так как применение этих схем позволяет свести решение исходной задачи оптимального управления к интегрированию усреднённой системы,

которая существенно проще /например,содержит меньшее число уравнений и переменных/.
Тема диссертации входит в комплексную тему "Асимптотические методы исследования задач оптимального управления" /номер государст -венной регистрации 01820068762/ разработкой которой занимается коллектив кафедры оптимального управления Одесского университета в соответствии с Республиканским планом важнейших работ в области естественных наук АН УССР на 1981-1985 гг.
2. Существующие подходы к усреднению управляемых систем с быстрыми фазами. Цель работы.
Впервые применение метода усреднения к исследованию управляемых систем с быстрыми фазами было рассмотрено в работе [32] в предположении о медленном изменении функции управления.Для случая же,когда управление считается произвольным,наметились следующие две методики применения метода усреднения:
1. С помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина исходная задача управления системой с медленными и быстрыми переменными сводится к краевой задаче,для решения которой применяется метод усреднения.
В работах р,22,55] с помощью этого подхода исследуются управляемые системы со скалярной фазой или системы,сводящиеся к такому типу.В данной работе подобная методика применяется в §§2,3 главы З.При этом,как и в вышеперечисленных работах исследован случай системы со скалярной фазой,но по сравнению с [55]] предложен алгоритм усреднения, позволяющий избежать неединственности решения краевой задачи принципа максимума для процессов с нефиксированным временем.
2. На основе аппарата дифференциальных включений усредняются непосредственно уравнения управляемого движения,и решается зццача оптимального управления для более простой усреднённой системы. Этот подход для систем стандартного вида с медленными переменными

сматривать не векторы |э, С^. из (0) ,а единичные опорные векторы 2; и Л соответственно к выпуклым множествам и Фс^О .Тогда вместо системы (?) будем иметь:
X = = ос° , \^-\ = <1,
^.= юс«.) -V ^.с0> = ^о дЛл = 1,
где граничная точка множества ,соответствующая
вектору г. ,а - граничная точка множества Фсоо ,
соответствующая вектору "V
Такая схема является корректной,так как согласно []50,8б] семейства решений включений
х & 6 5 хсСЬ =х°,
Со(х.-) £ £7)ФСос.:> ? Т^сО)
/где через "ЬА обозначена граница множества А / всюду плотны
соответственно в компактных семействах решений включений СЗ) в силу очевидных соотношений:
1~сх) = , Ф(5о = .
На основании теоремы 4 опорные функции выпуклых и компактных
по теореме I множеств Е35£> и Ф (рс.-) представимы в виде:
гг
X 1 Т V"