Нелинейное уравнение диффузии с солитонными свойствами

• Автор: Ищенко, Валентина Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Глава I. Исторический обзор

® § 1. Первый период солитонных исследований

§2. Дальнейшая история солитонных исследований

§3. Различные подходы к задачам, интегрируемым МОЗР

Глава II. Обратная задача рассеяния для нелинейного уравнения

диффузии

§ 1. Получение уравнений с частными производными обладающих

операторной структурой Лакса

§2. Построение другой коммутационной формы в виде уравнения нуФ левой кривизны

§3. Исследование вопроса о наличии бесконечной последовательности

законов сохранения для уравнения удх + /с(1п д)а

§4. Решение уравнения удх + к( 1п#)Х1 = д, методом обратной задачи
рассеяния
Глава III. Построение точных решений нелинейного уравнения
диффузии с помощью прямых методов
§ 1. Решение нелинейного уравнения диффузии с помощью метода
Хироты
§2. Применение других «прямых» методов
^ 2.1. Метод бегущих волн
2.2. Автомодельное решение
2.3. Решение в виде функций Вейерштрасса
§3. Исследование решения уравнения гд2дх+к^дххд-дх2) = д1д2 вблизи
подвижного сингулярного многообразия £(хД)
Заключение
Литература
Актуальность темы. При исследовании прикладных задач во всех областях естествознания, все больше находят применение нелинейные модели с частными производными, описывающие, как говорят "тонкие" эффекты. К таким задачам, например, относятся задачи нелинейной оптики, связанные с оптическими каналами связи, теории плазмы, современной теории гравитации, химические и биологические процессы в которых принципиальные свойства описываются нелинейными связями. Таким образом, исследования нелинейных уравнений и разработка конструктивных методов отыскания точных решений этих уравнений имеют большую практическую ценность и значимость. Среди современных теорий, позволяющих решать подобные задачи, выделяется теория солитонов.
Если явление описывается солитонным уравнением, то оно таит в себе большие преимущества в возможности применения к исследованию всего арсенала солитонной математики. Сюда входят: бесконечное число законов сохранения, наличие Лаксовой пары, связь Пенлеве уравнения в частных производных с системой обыкновенных дифференциальных уравнений, метод обратной задачи рассеяния (МОЗР), формализм Хироты для построения п-солитонных решений, преобразования Бэклунда и др.
Хорошо известно, что из операторного уравнения изоспектральной деформации, которое называют также уравнением Лакса, можно получить со-литонные уравнения допускающие возможность интегрирования МОЗР и отыскания точных решений. При использовании других способов, в частности методов численного решения дифференциальных уравнений, возникают проблемы интерпретации полученных результатов, не всегда ясно, что порождает тот или иной наблюдаемый эффект.
Построение новых уравнений, обладающих операторной структурой Лакса является актуальной задачей, так как позволяет расширить класс точно интегрируемых моделей, имеющих практическое значение.
Проблемы, связанные с вопросами теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными рассматривались в работах Дж. Рассела, Д. Кортевега, Г. де Вриза, Р. Миуры, Б.Б. Кадомцева, В.И. Каримана, А. Бэклунда, С. Гарднера, Дж. Грина, М. Крускала, П. Лакса, В.Е. Захарова,
А.Б. Шабата, М. Абловица, X. Сигура, Р. Хироты, С.П. Новикова, О.И. Богоявленского и других авторов. Указанными вопросами обусловлен круг задач, решаемых в диссертационной работе.
Цель работы - получить нелинейные уравнения с частными производными, имеющие операторную структуру Лакса. Исследовать нелинейное уравнение диффузии при вполне определенных значениях функции, описывающей возмущение.
Методы исследования. Основным методом диссертационной работы является метод обратной задачи рассеяния, с помощью которого найдены данные рассеяния для исследуемого нелинейного уравнения и решение краевой задачи. В работе также используются метод Хироты и метод бегущих волн, с помощью которых найдены точные решения исследуемого уравнения для различных значений возмущающей функции. Кроме того, применяются классические методы математической физики, теории обобщенных функций и теории дифференциального исчисления функций многих переменных. Научная новизна отражена в следующих результатах:
1. Получены нелинейные уравнения с частными производными, обладающие операторной структурой Лакса.
2. Определена связь между операторными структурами Лакса и уравнения нулевой кривизны для случая, когда коэффициенты операторов зависят от квадратных матриц.
3. Для нелинейного уравнения диффузии
МЛХ, 0 + /с(1п9<Л>0),к = чМН,
а) найдены две операторные структуры Лакса;
б) рассмотрен вопрос о наличии бесконечной последовательности законов сохранения;
Возможны два вида зависимости:
1) а - обыкновенная действительная или комплексная постоянная, а и .(х,ф, 7 = 1,2,...я - некоторые функции,
2) а, кДхД), / = 1,2,...и - матричные коэффициенты.
В первом случае уравнение
~ д" д"~1 0 )
а +и1(х, +---+и„-1(х>0~+и„(х>0 1Р = РФ (2-67)
представим в виде системы уравнений первого порядка. Введем новые переменные
<Р (х,ф//>2(х,ф <р„(х,ф так,, чтобы уравнение (2.67) было записано в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка

Зх д
Г(Рг=(Рг,

(2.68)
— Ф

~ГФп-1 = ах

дх ‘

-<р, = Мр<Р -иЛх,фг-и^(х,ф2 -...-м,(х,
: а4 '
которую можно переписать в матричном виде фх=Рф, где ф{х,г) = [(р1{х,С),(р2{х^) (рп{х,^ - вектор функция, Р - матрица, имеющая спектральный параметр £ = д.
Во втором случае для определенности пусть а, и,(х,ф - матрицы тхп,
тогда уравнение (2.67) представляет систему т уравнений п-го порядка. Для сведения ее к системе первого порядка, необходимо ввести новые переменные, входящие в вектор-функцию 9?(х,ф = ^|(х,ф,^2(х,ф р„(хд)) (71 означает транспонирование). Количество новых переменных должно совпадать с произведением тхп, т.е. для каждого уравнения п-го порядка будут введены