Применения метода усреднений и теории пространств Орлича к уравнениям вязкой жидкости

• Автор: Гатапов, Баир Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 60 с.

1 Аппроксимация слабого предела в пространствах Орлича

и уравнения Навье-Стокса

1.1 Вспомогательные сведения из

теории пространств Орлича

1.2 Сильная аппроксимация слабых пределов

1.3 Уравнения Навье-Стокса

2 Задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в пространствах Орлича

2.1 Существование обобщенного решения

2.2 Единственность решения

3 Существование обобщенного решения краевой задачи для двумерных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости в приближении мелкой воды

3.1 Постановка задачи

3.2 Формулировка эквивалентной задачи

3.3 Осреднения и лагранжевы координаты
3.4 Априорные оценки
3.5 Оценки сверху и снизу для плотности
3.6 Доказательство теоремы существования
Литература

В диссертации излагается применение теории пространств Орлича и метода усреднений к решению краевых задач, возникающих в нелинейном движении вязких жидкостей. Рассматриваются следующие вопросы.
• Аппроксимация слабого предела в пространствах Орлича и уравнения Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости.
• Теорема существования и единственности энтропийного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка.
• Существование обобщенного решения краевой задачи для двумерных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости в приближении мелкой воды.
1. Модель Навье-Стокса сплошной среды.
В механике сплошной среды одной из наиболее известных и интересных является модель Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости, которая имеет вид (см. [1],[2]):
1г + Му(рй) = О,
р(§ + (и-Ч)й) = сИуР + р/.
В системе (1) приняты следующие обозначения: р— плотность жидкости,

Затем подставляем (С, й) и го = -^(С 1ои^г) в (3.25). Получили параболическое уравнение для и = щ, являющегося образом оператора А : щ —> щ. Решение щ принадлежит пространству ( Т2(0,Т; РР2,2^)) П Пл1’2(0,Т;Ь2(П)), а следовательно и множеству К. Таким образом, все условия теоремы Шаудера о неподвижной точке выполнены, и оператор А имеет хотя бы одну неподвижную точку, что дает существование решения.