Корректность начально-краевых задач математических моделей гидравлического удара

• Автор: Некрасова, Ирина Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 130 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
Глава 2. Математические модели гидравлического удара в слабо вязкой жидкости и экстремально упругом скелете
§1. Постановка задачи
§2. Основные результаты
§3. Доказательство теоремы 2.
§4. Доказательство теоремы 2.
§5. Доказательство теоремы 2.
§0. Доказательство теоремы 2.
Глава 3. Математические модели гидравлического удара в вязкой жидкости и экстремально упругом скелете
§1. Основные результаты
§2. Доказательство теоремы 3.
§3. Доказательство теоремы 3.
Глава 4. Математические модели гидравлического удара в слабо вязкой жидкости и эластичном твердом скелете
§1. Основные результаты
§2. Доказательство теоремы 3.
§3. Доказательство теоремы 3.
Глава 5. Математические модели гидравлического удара в вязкой жидкости и эластичном твердом скелете
§1. Основные результаты
§2. Доказательство теоремы 5.
Список литературы
Введение
Актуальность темы.
В настоящей работе исследуется корректность макроскопических математических моделей распределения поля давления в пласте вблизи скважины в процессе гидравлического удара. Доказательство корректности указанных моделей основано па строгом усреднении точных уравнений, описывающих на микроскопическом уровне совместное движение твердого скелета грунта и вязкой жидкости, заполняющей поры в грунте.
Как правило, процессы фильтрации являются очень медленными процессами, в которых характерными временами являются месяцы. Общепринятые математические модели фильтрации жидкостей базируются па феноменологическом законе Дарси, определяющим связь между давлением жидкости и се скоростью.
В тоже время есть задачи фильтрации, в которых процессы длятся доли секунд. Например, гидравлический удар в нефтяной скважине. Гидравлическим ударом называется резкое повышение давления в некоторой системе, включающей, например, грубы, трещины и поры, заполненной жидкостью, вызывающее микроразрывы нефтяного пласта.
В настоящее время существуют инженерные модели этого процесса, косвенно связанные с фундаментальными законами механики сплошных сред [1], [2], [3|. В работе Т.Т. Гарипова [4] была предложена модель распространения трещин в пороупругой среде, в которой динамика жидкости описывается уравнением Дарси. Для последнего уравнения. как мы отмечали, характерное время на порядки превышает время описываемого процесса.
Задаче о движении жидкости в пористой среде посвящено большое количество работ российских и зарубежных авторов: М. Био 16]. К. фон Терцаги [7j, Р. Барриджа, и Дж. Келлера [5], Э. Санчес-Паленсии, Т. Леви [9]. А.М. Мейрманова [10]-[16],
А.Л. Пятницкого, Г.А. Чечкина, A.C. Шамаева [17], Дж. Бьюкенена [18]. Ж. Лина, М. Бакингема [19], 41 Клопиу, Ж. Ферри, Р. Гилберта,
А. Микелича [20], Л. Паоли. Г. Пгуетсенга, Ж. Санчес-Хыоберта [21].

В настоящей диссертации предлагается доказательство корректности новых макроскопических математических моделей гидравлического удара в нефтяном пласте, основанное па точном анализе параметров соответствующей математической модели на микроскопическом уровне (базовая модель), описывающей движение жидкости в порах упругого скелета грунта, с последующим усреднением дифференциальных уравнений микроскопической модели.
Автор следует естественной идее, предложенной Р. Барриджем и Дж. Келлером [5], сначала описать совместное движение упругого скелета и жидкости в порах на микроскопическом уровне, используя классические законы механики сплошных сред, а затем найти соответствующие аппроксимирующие модели с помощью методов теории усреднения. Базовая модель не вызывает сомнений и является общепринятой. Следовательно, все ее строго обоснованные подмодели (в том числе и усредненные уравнения) будут востребованы для будущих практических приложений.
В настоящей работе рассмотрена только небольшая часть всех возможных предельных ситуаций (усредненных уравнений). Очевидно, что нахождение всевозможных корректных математических моделей, асимптотически аппроксимирующих базовую модель, является важной и интересной задачей как с математической так и с практической точек зрения. Вообще говоря, при решении реальных физических задач не предполагается осуществления каких-либо предельных переходов. В то же время решение системы микроскопических уравнений, наиболее точно отражающих рассматриваемый физический процесс практически нереально, поскольку коэффициенты системы осциллируют на масштабе в 10-15 микрон. С другой стороны, в распоряжении исследователя имеются конкретные физические постоянные (плотность среды, вязкость жидкости, упругие постоянные твердого скелета, характерный размер рассматриваемой области Ь. характерное время физического процесса т и т.п.) и естественный малый параметр. Считая безразмерные коэффициенты уравнений функциями данного малого параметра и меняя физические величины в пределах применимости математической модели, можно определить закономерности в поведении безразмерных

периодическое повторение в П границы еу.
4) fl = Щ UFrUfl'. Поровое пространство Щ- и твердый скелет Щ являются связными, множествами.
В этих предположениях
Х(х) = уу(ж) -где хо(х) есть характеристическая функция области Г2, а
_* / l). х G V t / 1. же fiy.
Пусть безразмерные параметры од и ад зависят от малого параметра задачи е и существуют конечные или бесконечные пределы:
НшаЛг) = /д. lim ад (гг) — А0, lim —' — ш. lim ~ — Аь
£Г ' £ ' £ £2 <г £
Целью настоящей главы является нахождение предельных режимов (усредненных уравнений) и соответствующих начальных и краевых условий при до — Ао — 0 в следующих случаях:
Pi = Ai = оо, (2.4)
О < дь Ai < оо. (2.5)
Д1 = со, 0 ^ Ai < оо, (2-6)
Ах = оо, 0 ^ дх < оо, (2.7)
Моделируя этот процесс, мы рассматриваем область Q, занимающую конечный объем и лежащую в полупространстве (жз < 0}. Ее граница S состоит из двух частей: S1 лежит в плоскости {.Тз = 0}, остальная часть границы S2 5 6": есть гладкая поверхность класса С2, вблизи плоскости {х'з = 0} заданная уравнением Ф(ж1,жг) = 0. (То есть представляющая собой цилиндр).
В качестве Q выступает подобласть области Q, такая что дополнение П в Q есть цилиндр Ц° = {ж£ R,3| o/f -i ^ S2 < 1,