Обратные задачи для линейных уравнений соболевского типа

• Автор: Уразаева, Анна Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 115 с.

Содержание

Обозначения и соглашения

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Относительные резольвенты

1.2 Относительно р-радиальные операторы

1.3 Относительно р-секториальный оператор

1.4 Относительно спектрально ограниченный оператор

1.5 Обратная задача для уравнения,

разрешенного относительно производной

1.6 Точечный спектр и единственность решения обратной
задачи
1.7 Нестационарная обратная задача для уравнения,
разрешенного относительно производной
1.8 Многозначный линейный оператор
2 Задача прогноз-управления для уравнения
соболевского типа
2.1 Решение сингулярной обратной задачи
2.2 Обратная задача для исходного уравнения
2.3 Теорема об отображении точечного спектра
многозначного линейного оператора
2.4 Единственность решения обратной задачи
2.5 Редукция неоднородной обратной задачи к однородной
2.6 Обратная задача для системы Соболева
2.7 Обратная задача для системы уравнений Осколкова
2.8 Обратная задача для системы уравнений фазового поля

2.9 Сильно вырожденная система уравнений фазового поля
2.10 Единственность обратной задачи для системы уравнений фазового поля
2.11 Обратная задача для уравнения с многочленами от эллиптических операторов
3 Нестационарная обратная задача
3.1 Решения повышенной гладкости невырожденной нестационарной обратной задачи
3.2 Разрешимость вырожденной нестационарной обратной задачи
3.3 Нестационарная обратная задача для системы Соболева
3.4 Нестационарная обратная задача
для системы Осколкова
3.5 Нестационарная обратная задача для системы уравнений фазового поля
3.6 Нестационарная обратная задача для уравнения
с многочленами от эллиптических операторов
Список литературы

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
1. Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами каллиграфического шрифта латинского алфавита, кроме:
N - множество натуральных чисел;
R - множество действительных чисел;
К+-{аеМ:а>0};
1+ = RU{0};
С - множество комплексных чисел.
2. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского и греческого алфавитов, кроме операторов, которые обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.
3. Область определения оператора А обозначается через dom А, его ядро - через ker А, образ - через im А. Символом span А обозначается линейная оболочка множества А.
4. Множества операторов обозначаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:
С{]ЛТ) - множество линейных непрерывных операторов, действующих из пространства U в пространство Т
Cl(U, Т) - множество линейных замкнутых плотно определенных в пространстве U операторов, действующих в пространство Т
5. Все рассуждения проводятся в вещественных банаховых пространствах, но про расмотрении "спектральных" вопросов вводится их естественная комплексификация. Все контуры ориентированы движением "против часовой стрелки" и ограничивают область,

К имеют ограниченную вариацию. Тогда задача (1.5.1) - (1.5.3) корректна в том и только в том случае, когда т
J Ф /(°) (Д™.М*) - М0))-

1.6 Точечный спектр и единственность решения обратной задачи
Доказательства приведенных в данном параграфе теорем можно найти в работах [77, 79].
Теперь для уравнения (1.5.1) рассмотрим характеристическую функцию

L(X) = J eXtd/a(t), А е С, (1.6.1)

которая является целой по переменной А. Скалярная функция y(t) имеет ограниченную вариацию на отрезке [0,Т] и порождает соответствующую меру dpi(t). Точка to 6 [0,Т] называется точкой вариации меры dp{t), если функцияя не обращается тождественно в константу ни в какой окрестности точки to. В частности, to = 0 является точкой вариации меры dp.(t), если Var{x(t)}|o > 0 при любом малом е > 0. Если dp(t) имеет более одной точки вариации на [0,Т], то L(А) обладает счетным множеством нулей (см. [37]). Если /Lt(t) - функция скачка, нулей нет совсем, если /i(t) = const, то L(А) = 0.
Рассмотрим оператор В, определенный полугруппой S(t) и мерой dp(t) на отрезке [0, Т] формулой

Bz = f S(t)zdfi(t), zGV. (1.6.2)