Устойчивость стохастических систем со случайными скачками фазовых траекторий

• Автор: Завьялова, Татьяна Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 112 с. : ил.

Список основных обозначений.
Глава 1. Устойчивость линейных стационарных систем
с разрывными фазовыми траекториями
§ 1. Постановка задачи и основные определения
§2. Моментные уравнения
§3. Анализ условий среднеквадратической устойчивости
§4. Формула усреднённой производной в силу системы
§5. Метод функций Ляпунова
§6. Пример
Глава 2. Исследование устойчивости нелинейных стохастических систем с разрывными фазовыми траекториями
§ 7. Постановка задачи
§8. Исследование устойчивости стохастических систем
по первому приближению
§9. Моделирование движения тела переменной массы
§10. Метод «замораживания случайности»
§11. Пример
ЛИТЕРАТУРА

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
М[ • ] — математическое ожидание
Р{ ■} — вероятность события
М[ • | • ] - условное математическое ожидание
£ - случайная величина
w(t) - винеровский случайный процесс
tr( А )~ след матрицы
| А | - определитель матрицы А
o(t-s)- бесконечно малая величина при t—>s, более высокого порядка
ч т o(t—s)
малости, чем (/ - s), то есть lim 0.

А В - множество, элементы которого принадлежат множеству Л и не принадлежат множеству В Ä(n)- п - мерное евклидово пространство N-множество натуральных чисел х - п -мерный фазовый вектор системы
y{t)- марковский случайный процесс, описывающий воздействие случайных параметрических возмущений, действующих на систему
— п — вектор-строка частных производных функции
ÔF' ~dF dF~
. дх. Эх, ’ ’дх».
F(X,...xn)
■' - знак транспонирования

dxfîxj
- смешанная частная производная функции F : R{n) —> R{V) по переменным Xt,Xj.
II х ||— евклидова норма вектора д:

Настоящая работа посвящена исследованию задач устойчивости и стабилизации динамических систем, находящихся под воздействием случайных помех. Эти помехи могут иметь различную природу возникновения и вызывать изменения, как структурного состояния системы, так и разрывы фазовой траектории. В реальных физических, экономических и, других эволюционных процессах, случайное воздействие возмущений может привести либо к разрывам протекающего процесса, либо к его непрерывному изменению. Системы, характерным признаком которых является неоднородность пространства состояний, называют системами со случайной структурой, а в западной литературе распространён термин «системы со скачками» (jamP systems). В настоящее время большое внимание уделяется моделированию стохастических систем, которые встречаются в различных отраслях техники, механики, биологии и т.д. Особое место в моделировании случайных процессов занимает описание возможных случайных разрывов фазовых траекторий.
При анализе таких динамических систем, как правило, интересуют вопросы устойчивости, в том или ином смысле, стабилизации и оптимизации. Так как эволюция системы протекает под воздействием случайных факторов, то методы исследования устойчивости зависят в определенной степени от информации о помехах, действующих на систему. Если возмущения в системе отсутствуют или носят детерминированный характер, а информация об этих помехах исчерпывается лишь заданием областей их возможного изменения, то исследование устойчивости опирается, прежде всего, на фундаментальные результаты в теории устойчивости детерминированных систем, основанной Ляпуновым и, получившей своё развитие в трудах Н.Г. Четаева, И.Г. Малкина, Е.А. Барбашина, Н.Н.Красовского, А.И. Лурье, Дж. Массера.
Исследование устойчивости невозмущенного движения обыкновенных дифференциальных уравнений основано на применении второго метода Ля-

0<ч<1, к12<1, к21<1

рис. 9. Здесь рассмотрены значения q = 0.35, к2 ~ 0-2* к2 — 0
Видно, что даже при положительных значениях параметров системы ах, а2 существует область среднеквадратической устойчивости. Таким образом, неустойчивую систему без скачков можно привести в устойчивое состояние за счет случайных скачков, если только скачки, приближающие траекторию к положению невозмущенного движения, были больше скачков в противоположном направлении. В этом случае зависимость координат от времени имеет вид