Асимптотическое представление решений систем сингулярно возмущенных уравнений в частных производных в критическом случае

• Автор: Шулико, Ольга Васильевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Обнинск
• Количество страниц: 83 с.

Обзор литературы

1 Построение асимптотического представления решения слабонелинейной системы дифференциальных уравнений типа «реакция-диф-фузия>

1.1 Постановка задачи

1.2 Алгоритм построения асимптотики при д = є4

1.2.1 Регулярная часть

1.2.2 Пограничные функции Ии(х, т), Пп(х, т)

1.2.3 Процедура сглаживания функций щ, щ

1.2.4 Внутренний переходный слой

1.2.5 Внутренее разложение в окрестности начала координат

1.2.6 Построение функций внутреннего переходного слоя До'«) До« • ■

1.2.7 Дополнительное внутреннее разложение Гои, Гои

1.2.8 Окончательный вид АП
1.3 Алгоритм построения асимптотики при д = є2
1.3.1 Регулярная часть
1.3.2 Пограничные функции Пи(х, т), Пу(х, т)
1.3.3 Функции переходного слоя 5о«> До«
1.3.4 Внутреннее разложение в окрестности начала координат
1.3.5 Окончательный вид АП
2 Асимптотика решения сингулярно возмущенной начально-краевой задачи для слабонелинейной системы типа "реакция-диффузия"
2.1 Постановка задачи
2.2 Алгоритм построения асимптотики
2.2.1 Регулярная часть разложения
2.2.2 Пограничные Л-функции
2.2.3 Пограничные (^-функции
2.2.4 Внутренний переходный слой
2.2.5 Окончательный вид АП

3 Асимптотика сингулярно-возмущенной начально-краевой задачи с переменными коэффициентами
3.1 Постановка задачи
3.2 Алгоритм построения асимптотики
3.2.1 Регулярная часть разложения
3.2.2 Пограничные Я-функции
3.2.3 Пограничные (^-функции
3.2.4 Внутренний переходный слой
3.2.5 Окончательный вид АП
4 АП решения начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений типа «реакция-диффузия-перенос»
4.1 Постановка задачи
4.2 Алгоритм построения асимптотики
4.2.1 Регулярная часть разложения
4.2.2 Пограничные Я-функции
4.2.3 Пограничные (^-функции
4.2.4 Внутренний переходный слой
4.2.5 Окончательный вид АП
Приложения
А Вывод уравнения для 5ои, Боь в случае ц = £4
В О достаточных условиях параболичности внутреннего переходного слоя
В.1 Независимость М от выбора собственных векторов
В.2 Об отрицательности коэффициента М для матриц А, Я специального
вида
В.З Оценка коэффициента V в терминах матрицы Я
В.4 Достаточные условия параболичности внутреннего переходного слоя
для матрицы А специального вида
В.5 Доказательство параболичности задачи для функций переходного слоя
при условии несимметричной матрицы А
В.6 Доказательство параболичности задачи для функций переходного слоя
для симметричной матрицы А
Литература

Асимптотические методы представляют собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Они позволяют получать приближенные аналитические представления решений весьма сложных линеных и нелинейных краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных.
Асимптотические методы широко применяются в механике, физике и других науках, оперирующих дифференциальными уравнениями. Большинство этих методов (например, метод Пуанкаре, метод усреднения, метод пограничного слоя) первоначально возникли именно при решении конкретных задач механики и физики, а затем уже были развиты и обобщены. Впоследствии многие методы получили строгое математическое обоснование. Однако до сих пор целый ряд методов малого параметра, особенно применительно к уравнениям в частных производных, нельзя считать строго обоснованными, и успех их применения часто бывает связан с глубоким и неформальным проникновением в суть задачи, с пониманием процессов, описываемых данными уравнениями.
В настоящее время асимптотические мотоды продолжают бурно развиваться, несмотря на бурное развитие численных методов, вызванное появлением быстродействующих вычислительных машин и комплексов,- численные и асимптотические методы не исключают, а взаимно дополнят друг друга. Аналитические методы служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и анализа особых точек, для построения опорных "тестовых"решений, а в ряде случаев являются также основой для разработки вычислительных методов.
В последние годы внимание ученых, занимающихся асимптотическими методами теории дифференциальных уравнений, привлекла так называемая проблема сингулярных возмущений, поставленная перед математиками интенсивным развитием самых разнообразных областей науки. Особое внимание заслуживают сингулярно возмущенные (с.в.) дифференциальные уравнения в частных производных с малыми параметрами при старших производных, которые часто возникают в разнообразных прикладных задачах и используются при описании математических моделей процессов диффузии, сорбции с учетом малой диффузии, фильтрации жидкостей в пористых средах, химической кинетики, хроматографии, тепло- и массопереноса, гидродинамики и многих других областях.
Теория сингулярных возмущений интенсивно развивается, начиная с основополагающих работ А. Н. Тихонова. К настоящему времени создан ряд методов построения асимптотических разложений решений различных с.в. задач. Это метод пограничных функций, развитый в работах А. Б. Васильевой, М. И. Вишика, Л. А. Люстерни-ка, В. Ф. Бутузова; метод регуляризации С. А. Ломова, методы усреднения, ВКБ,

«0 |t=0,Ç>0
При условии параболичности уравнения (4.62а) (т.е. М < 0) существует Т0 > 0 такое, что на [0, То] существует единственное решение задачи (4.62а) и на [0, То] справедлива оценка
|s0| < Сехр(-к(2), С > 0, к > 0.
Доказано, что условие параболичности задачи М < 0 выполнено для некоторых симметричных матриц А специального вида, у которых все элементы кроме главной диагонали неотрицательны, а элементы главной диагонали равны суммам элементов по столбцам, взятых с отрицательными знаками (см. Приложение).
Также поставлено достаточное условие параболичности задачи (4.62) для несимметричных матриц А специального вида (см. Приложение).
3.2.5 Окончательный вид АП
Представим решение задачи (3.1) в виде
U(x,t) = Ü0(x,t) + П0{х,т) +Q0{Ç,t) + 50(СД) + r(x,t,e),
где. Uo{x, t) + По(х, т) + Qo(f. i) + S0(C, ~ построенная асимптотика, r(x, t, s) - остаточный член.
Теорема 5. Остаточный член r(x,t,e) удовлетворяет задаче e2(r( + Drx) — Ar + RF + R, х > 0, 0 < t < Т, Т = min{T, Т0},
г(0,х) = 0(e),r(t, 0) = О(е),
где R = 0(е2) всюду в области {0 < х < оо, 0 > t > 7} вне любой фиксированной окрестности точки (0,0).
Доказательство Теоремы 3 следует из алгоритма построения асимптотики и оценок функций Щ, Qo, «о-