Метод гладких возмущений в задачах теории упругости с односторонними ограничениями для областей с негладкими границами

• Автор: Рудой, Евгений Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 292 с.

Оглавление
Введение

1 Обозначения и предварительные сведения

1.1 Функциональные пространства

1.2 Область с трещиной

1.3 Неравенства Корна

1.4 Минимизация выпуклых функционалов

1.5 Математические модели упругих тел с трещинами и жесткими включениями

1.5.1 Уравнения состояния в теории упругости

1.5.2 Инфинитезимальные жесткие перемещения

1.5.3 Обобщенные формулы Грина

1.5.4 О краевых условиях в задачах теории упругости
1.5.5 Задача равновесия упругого тела с трещиной с условием непроникания ее берегов
1.5.6 Задача равновесия упругого тела с жестким включением и трещиной, лежащей на границе раздела .
1.5.7 Задача равновесия пластины Кирхгофа-Лява с вер-
тикальной трещиной при условии непроникания ее берегов
2 Задачи теории упругости с односторонними ограничениями на границе
2.1 Задача о криволинейной трещине в двумерном теле

2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Вспомогательные утверждения и формулы
2.1.3 Сходимость решений
2.1.4 Вывод формулы для производной функционала энергии по длине трещины
2.1.5 Анализ полученной формулы
2.2 Квазистатический рост поверхностной трещины в трехмерных телах
2.2.1 Задача равновесия
2.2.2 Преобразование координат и производных
2.2.3 Сходимость решений
2.2.4 Формула для производной функционала энергии по параметру возмущения трещины
2.3 Анализ чувствительности формы трещины с условием непро-никания
2.3.1 Невозмущенная задачи
2.3.2 Возмущенная задача
2.3.3 Асимптотические представления операторов возмущенной задачи
2.3.4 Сходимость решений семейства возмущенных задач к решению невозмущенной задачи
2.3.5 Производная функционала энергии по форме областиЮЗ
2.3.6 Анализ формулы для производной функционала энергии
2.3.7 Инвариантные интегралы
2.4 Выбор оптимальных форм поверхностных трещин в трехмерных упругих телах
2.4.1 Формулировка задачи равновесия
2.4.2 Выбор оптимальной формы трещины
2.4.3 Задача оптимального управления фронтом трещины

2.5 Задача об одностороннем контакте пластины с тонким упругим препятствием
2.5.1 Постановка задачи
2.5.2 Дифференцируемость функционала энергии по длине
отслоившегося участка
2.5.3 Предельный переход при а —>■ оо
3 Краевые задачи для уравнений четвертого порядка, описывающих поведение упругих пластин
3.1 Асимптотика функционала энергии для смешанной краевой задачи четвертого порядка в области с разрезом
3.1.1 Формулировка возмущенной и невозмущенной задач
3.1.2 Вспомогательные утверждения и формулы
3.1.3 Производная функционала энергии
3.2 Инвариантные интегралы для задачи равновесия пластины с трещиной
3.2.1 Задача равновесия
3.2.2 Возмущение области
3.2.3 Вспомогательные утверждения и формулы
3.2.4 Формула для производной функционала энергии . .
3.2.5 Общий вид инвариантного интеграла
3.2.6 Возмущение всего разреза
3.2.7 Возмущение вершины разреза
4 Задачи теории упругости для моделей упругих тел с жесткими включениями и трещинами
4.1 Формула Гриффитса и интеграл Черепанова-Райса для
пластины с жестким включением и трещиной
4.1.1 Постановка задачи
4.1.2 Формула Гриффитса

Лемма 1.4.2. Пусть К - выпуклое множество, функционал П - выпуклый и дифференцируемый по Гато. Тогда задача (1.4.2) эквивалентна вариационному неравенству
и £ К, П^(г; — и) > 0 /у £ К. (1.4.3)
Лемма 1.4.3. Если в дополнение к лемме 1.4-2 потребовать, что функционал П является строго выпуклым, то решение задачи минимизации (1.4.2) единственно.
Замечание 1.4.1. Если рассматривать задачу минимизации на всем пространстве V, то в условиях леммы 1-4-2 вариационное неравенство (1.4.3) примет вид вариационного равенства — уравнения Эйлера:
ПО) =0 /у £ V. (1.4.4)
Вариационные равенства вида (1.4.4) будут возникать, когда мы будем рассматривать задачи равновесия упругих тел, в которых не накладываются односторонние ограничения на решения.
1.5 Математические модели упругих тел с трещинами и жесткими включениями
В настоящем параграфе сформулируем основные математические модели упругих тел.
1.5.1 Уравнения состояния в теории упругости
Пусть П С N = 2,3. Обозначим через и — (гц,...,ип) - вектор перемещений, а = {од} - тензор напряжений, £ = {ец} - тензор деформаций, — 1,...,У. Мы будем использовать подход Лагранжа, при котором считается, что каждая частица тела находится в естественном состоянии, и задача состоит в отыскании и, а, £ как функций координат [38, 67, 76].