Задача Коши для системы из двух квазилинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа в невыпускном случае

• Автор: Пазин, Геннадий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Обнинск
• Количество страниц: 114 c. : ил

Глава I. Задача о распаде произвольного начального разрыва для системы из двух квазилинейных уравнений без условия выпуклости ' 33“33 .

§1. Постановка задачи о распаде разрыва. Формулировка результатов главы

§2. Свойства кривых & ^ ,33

§3. Кривые возможных переходов. Доказательство теоремы 1.1..33.

§4. Существование обобщенного решения задачи (1.1),(1.2). Доказательство теоремы 1.2

§5. Об условиях на разрывах обобщенных решений

Глава II. Существование обобщенного решения задачи Коши для системы из двух уравнений без условия выпуклости...ЗЗдЗЗЗ

§1. Постановка задачи. Формулировка результата

§2. Свойства функций Ь , Ь*

§3. Задача о распаде начального разрыва

§4. Множества Ощио , сц*«)

§5. Построение семейства "приближенных" решений. Доказательство

теоремы 2

§6. Устойчивость обобщенного решения

Литература

Изучение распространения сильных возмущений в сплошной среде приводит к необходимости исследования нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.
Для нелинейных дифференциальных уравнений не применим принцип суперпозиции решений, что имеет место для линейных уравнений. Этот факт в первую очередь объясняет отсутствие до сих пор такой общей теории нелинейных дифференциальных уравнений, как теория линейных уравнений. Вместе с тем изучение общих свойств нелинейных дифференциальных уравнений и методов решения является актуальной задачей современной математики.
В диссертации изучаются вопросы корректности задачи Коши для системы квазилинейных гиперболических уравнений типа законов сохранения:
Основу теории систем квазилинейных уравнений гиперболического типа составляет газовая динамика. Основная особенность квазилинейных гиперболических уравнений состоит в том, что задача Коши (1),(2) может не иметь непрерывного решения даже при сколь-угодно гладких начальных условиях, что соответствует возникновению ударной волны в газе. Это обстоятельство привело к необходимости изучения обобщенных (разрывных) решений, удовлетворяющих законам сохранения в интегральной форме.

(I)
и и, О) = и0 (X)
(2)

Покажем, что кривые ~Г ^(и) и Т (и. + с(и) не пере-
<щт'
секаются на участках типа 5 ^ . Предположим обратное.
Пусть (1* - точка пересечения, тогда можно записать:
4>(ц*)- ¥(й)- е (и) (и -и

f(u^)- у1(а+с(и)~5‘г(й+с1й)(ц*-й-с<й)*(
Из (1.30) отбрасывая члены более высокого порядка малости, чем Л и , получим систему:
('М'-О- Уг(С>Е)<*а = (и-“*)(?£(%) с1й) (1.31)
2т **** %
Умножим (1.31) на С (и.) и получим, что
(ту (и)с1и) ( сй)(и-и')')
*■ О* (^) .
Так как точка Ы лежит на кривой С и*) , то
(с*(£>(«-и*))#о , (ч^(и)с1СС)=о
(/1)
Умножим (1.31) на С (и) и получим, что
Из последнего равенства в силу гиперболичности системы (1.1) елеС (ЬС) Л и) = О ,но это противоречит (1.29)
(2)
лученное противоречие показывает, что кривые Г (и.) И
тсг)ги + о(а) Г(2)
I ^ и + / не пересекаются на участках типа ф
Таким образом, если точки и и и + Л и достаточно близки на кривой , то кривые Т(г)(й) и Т№)(й + с1и)