Эллиптические задачи в пространствах с асимптотиками и их приложения к построению самосопряженных расширений оператора Лапласа

• Автор: Коровина, Мария Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 193 с.

Вводные замечания

Обзор литературы

Содержание работы

Глава 1. Разрешимость задач в пространствах с асимптотиками для пары (йфЛ"'1)

§1. Пространства с асимптотиками

§2. Задачи Соболева в пространствах с асимптотиками

§3. Построение алгебры операторных морфизмов

Глава 2. Разрешимость задач в пространствах с асимптотиками на стратифицированном многообразии, представляющем собой объединение двух пересекающихся плоскостей

§1. Пространства с асимптотиками для пары (й",Л"“1'1 и Л"-1'1)

§2. Задачи Соболева в пространствах с асимптотиками для пары

(1?Мгм'|иГ',':)

£3. Построение алгебры операторных морфизмов
Глава 3. Разрешимость задач в пространствах с асимптотиками на стратифицированном многообразии представляющем собой объединение плоскостей в общем положении
§1. Основные определения
§2. Постановка задачи
§3. Построение алгебры операторных морфизмов
Глава 4. Эллиптические задачи на стратифицированных компактных многообразиях в пространствах с асимптотиками
§1. Построение регуляризатора задачи Соболева в пространствах с асимптотиками для пары М э X, где X — гладкое компактное подмногообразие
§2. Задача Соболева в пространствах с асимптотиками для случая произвольного стратифицированного компактного многообразия безкрая, имеющего трансверсальные пересечения
Глава 5. Примеры
Пример
Пример
Глава 6. Оператор Шредингера с потенциалом сосредоточенным на плоскости
^7. Построение сопряженного оператора
§2. Условия симметрии
£5. Условия самосопряженности оператора Аа'гЛ
§4. Условия полуограниченности операторов А0а'Р'* и Аа'р’к
Глава 7. Построение самосопряженного расширения оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на пучке
плоскостей, имеющих нулевое пересечение
§1. Построение симметрических расширений оператора Д£ для случая
пучка состоящего из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение
§2. Необходимые и достаточные условия обратимости оператора А а.р.уз
для пучка состоящего из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение
§3. Полуограниченность оператора Аа „ „ к для случая пучка состоящего из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение

§4. Самосопряженность оператора Аарук для случая пучка состоящего
из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение
§5. Построение самосопряженных расширений оператора А, в 1^(Я2") для случая пучка состоящего из двух плоскостей имеющих нулевое пересечение
£<5. Построение симметрических расширений оператора А, для пучка
состоящего из т плоскостей имеющих нулевое пересечение
§7. Необходимые и достаточные условия обратимости оператора Я2 - ДА,.Л для пучка состоящего из т плоскостей имеющих нулевое
пересечение
.£§. Необходимые и достаточные условия полуограниченности и самосопряженности оператора Др у к для пучка состоящего из т плоскостей
имеющих нулевое пересечение
§9. Самосопряженность оператора Ар „для пучка состоящего из т
плоскостей имеющих нулевое пересечение
§10. Построение самосопряженных полуограниченных расширений оператора А, в Н(Я2") для пучка состоящего из т плоскостей имеющих нулевое пересечение
Глава 8. Построение самосопряженного расширения оператора Шредингера с потенциалом, сосредоточенным на пучке
плоскостей, имеющих ненулевое пересечение
§1. Построение симметрического расширения оператора Д, для пучка
состоящего из двух плоскостей имеющих ненулевое пересечение
§2. Необходимые и достаточные условия обратимости оператора Я 2- Аар ук для пучка состоящего из двух плоскостей имеющих ненулевое
пересечение
§3. Полуограниченность оператора Аарук для случая пучка состоящего

Так как £/, = дД#-Д2С) и §-А 2СеН° 2(/?" 171, то при условии огс/В>порядок оператора Д, больше или равен Отсюда следует, что А;1^-Д2С)
А из того, что С/, следует, что н0 еЯ'”^-/?"). Заметим, что из обратимости
оператора Л следует обратимость оператора

я 2 о
О н р;
Таким образом, мы доказали, что оператор А(1 с областью определения
Я'”(К") ® Я5" (Л”-1' х 5"’'“1) Ф Я ” 2 (Л"~') обратим, и его образом является пространство

Я'"'"’(Л")® н"'~т(К”~'' х51'-')ФЯ " 2(Л”~у), тем самым мы доказали разрешимость задачи (1.3) в соответствующих пространствах с асимптотиками.
Теорема доказана.
&?. Построение алгебры операторных морфизмов.
Для того чтобы построить теорию эллиптических задач в пространствах с асимптотиками, необходимо описать алгебру операторных морфизмов, которая содержала бы разрешающие операторы для задач Соболева в пространствах с асимптотиками, иными словами задач типа (1.3). В этом параграфе кратко изложены основные результаты касающиеся этого описания.
Мы будем рассматривать пространство АР'"т с асимптотическим типом, состоящим из одной точки Т = . Рассмотрим соответствующий операторный морфизм

о н р; кС р,в 0.
(1.8)
Ясно, что для рассматриваемого нами случая все входящие в эту матрицу операторы являются скалярными. Как было показано выше, уравнение (1.5) является записью задачи (1.3) в операторных морфизмах. Нашей первой задачей является расширение множества морфизмов, соответствующих задаче (1.3) до алгебры с инволюцией. Вна-