Специальные асимптотические методы исследования высокомодовых стационарных режимов в системах с распределенными параметрами

• Автор: Малозёмова, Дарья Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 80 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

1. Явление буферности

в уравнениях с полутора степенями свободы

1.1. Постановка задачи

1.2. Доказательство существования и устойчивости вращательных периодических решений

1.3. Существование и устойчивость колебательных периодических решений

1.4. Численные исследования

2. Высокочастотные автоколебания в уравнениях с запаздыванием

2.1. Постановка задачи

2.2. Линейный анализ

2.3. Существование периодических решений
2.4. Исследование устойчивости

3. Высокомодовые аттракторы
обобщенного уравнения Свифта-Хоэнберга
3.1. Общая постановка проблемы
3.2. Локальная постановка задачи
3.3. Исследование устойчивости
3.4. Фрагменты численного анализа
4. Высокомодовые аттракторы уравнения Свифта-Хоэнберга
с квадратичной нелинейностью
4.1. Постановка задачи
4.2. Локальная постановка задачи
4.3. Исследование устойчивости
4.4. Численные исследования
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Цитированная литература
Публикации по теме диссертации

Введение
В диссертационной работе рассматриваются специальные алгоритмы исследования феномена буферное™ в приложении к различным задачам начиная от моделей из механики до моделей из гидродинамики.
О феномене буферное™ принято говорить в случае, когда в фазовом пространстве некоторой динамической системы при подходящем выборе параметров можно гарантировать сосуществование любого фиксированного числа однотипных аттракторов (состояний равновесия, циклов, торов и т.д.).
Особо остановимся на различии таких понятий, как буферное™ и муль-тистабилыюсть. Напомним, что мультистабильность означает сосуществование в фазовом пространстве системы сразу нескольких аттракторов. Далее, представим себе ситуацию, когда в некоторой системе при любом допустимом изменении параметров реализуется ровно сто устойчивых циклов. Ясно, что здесь мы имеем дело с мультистабильностью. Однако буферно-сти в данной системе не будет, так как, и это ключевой момент, понятие «буферность» предполагает наличие некого бифуркационного процесса, в результате которого происходит неограниченное увеличение числа сосуществующих аттракторов. Упомянутый процесс характерен, главным образом, для систем с распределенными параметрами, хотя, как будет показано ниже, может наблюдаться и в системах с конечным числом степеней свободы.
Разумеется, в случае сосуществования небольшого числа устойчивых состояний равновесия или циклов буферность свидетельствует о наличии «порядка». Однако если их число излишне велико, то может происходить спонтанный переход системы с одного устойчивого стационара на другой под действием случайных возмущений начальных условий. В подобной ситуации говорят, что в динамической системе реализуется флуктуационный хаос.
Из результатов известной работы A.A.Витта [1], а так же из значительно боле поздних работ [2-6] следует, что буферность представляет собой универсальное нелинейное явление, возникающее в математических моделях из различных областей естествознания: радиофизики, механики, экологии, нелинейной оптики, теории горения и т.д. Поэтому весьма актуальна

циально орбиталъно устойчивый цикл
х = хо (т,£,6), (1т/сИ = шо(е,6), (2.3.12)
о(г,£,5)|г=тД±(е)= 0; о*(е,тД±(е)) = <*>±{е), (2.3.13)
где 27г—периодическая по т функция хо(т,е,5) и частота (е,8) раскладываются в ряды (2.3.5), (2.3.6), сходящиеся равномерую по 6 из любого фиксированного отрезка
[<М2] С (—Д„Д,). (2-3.14)
Сформулированная лемма представляет собой один из вариантов классической бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа, а ее справедливость вытекает из результатов монографии [93], в которой упомянутая теорема распространена на уравнения с запаздыванием. В частности, в [93] в случае уравнений с аналитическими нелинейностями доказана, сходимость рядов вида (2.3.5),(2.3.6).
Отметим, что в нашей ситуации эти ряды сходятся лишь на отрезках (2.3.14), а не на самом интервале (—Д+(е), А_(е)). Связано это с тем, что в общем случае фигурирующая в (2.2.6) функция хо(т, 0) не является гладкой по в вплоть до значений в — (при в —> 6$ ± 0 она имеет особенности вида у/в — 6$ и /0(7 - 0 соответственно). Что же касается частоты щ{в), то се производная по в заведомо существует и в точках в = 0$.
Отсюда из проделанных выше построений следует, что равномерно по
-Д+(е) 6 < Д_(е)
ж(е' = та+о(£)<0- (2-ЗД5)
Неравенство (2.3.15) позволяет применить к циклу (2.3.12) описанный выше принцип подобия. Действительно, фиксируем произвольное натуральное п и при в Е (в~(е), Д|(е)) рассмотрим аналогичное (2.2.8) уравнение
О-ТГ
0 = п——гг + во у/Ё 6 (2.3.16)
0 () а )
относительно <5. Из свойств (2.3.13) и (2.3.15) частоты иУо{е,5) следует, что
оно однозначно разрешимо, а его решение 5 = 5п(6,е) € (—Д+(е), Д_(е))
таково, что
6п(в±,е) = тД±(е). (2.3.17)