Функционально-дифференциальные уравнения второго порядка с быстро убывающими решениями в гильбертовом пространстве

• Автор: Атагишиева, Гульнара Солтанмурадовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 86 с.

Основные обозначения и определения

ГЛАВА I. Об экспоненциально убывающих решениях

1.1. Вспомогательные леммы

1.2. Сведение начальной задачи к задаче с однородными начальными условиями

1.3. О решениях, убывающих экспоненциально вместе со своими производными до второго порядка

ГЛАВА II. О решениях, убывающих быстрее экспоненты

2.1. Преобразование уравнения

2.2. О росте решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

2.3. О существовании решений, исчезающих на полуоси

2.4. Примеры иллюстрации абстрактной теории

Библиографический список использованной литературы

Впервые дифференциально-разностное уравнение вида ух) = у(х -1)
было рассмотрено Кондорсе в 1771 году в связи с геометрической задачей Эйлера о нахождении линии, подобной своей эволюте. Далее никто не рассматривал уравнения такого типа, не были сформулированы теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в литературе не было даже четкой постановки задачи. Это впервые сделал А.Д. Мышкис в своей диссертации «Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом» (1949-1950).
Начальным этапом было изучение скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Ими занимались А.Д. Мышкис [33],
С.Б. Норкин [34], Л.Э. Эльсгольц [44], Э. Пинни [36], Р. Беллман, К. Кук [16],
Н. В. Азбелев [2] , А. М. Зверкин, Г. А. Каменский, В. Хан и другие. При исследовании дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием, в основном, применялось преобразование Лапласа и метод шагов.
В последние годы широкое развитие получили исследования по операторно-дифференциальным уравнениям в различных пространствах. В числе книг, где с единой позиции трактовались многочисленные вопросы современной теории функционально-дифференциальных уравнений, можно назвать монографию Дж. Хейла [38]. Исследованиями дифференциальноразностных и функционально-дифференциальных уравнений путем изучения обратимости соответствующих операторов занимался Курбатов В.Г. [29]. Классическими стали результаты исследований Э. Хилле, Р. Филлипса [39], К. Иосиды [22], Т. Като [23] в этом направлении, которыми были получены первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения вида первого порядка с неограниченным оператором в банаховом пространстве, сформулированные в терминах полугрупп операторов.

Следующим шагом в развитии теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом стала работа Т. Като [24], в которой получена теорема существования решения задачи для уравнения вида
xt) = A(t)x(t) с переменным неограниченным оператором A(t).
Задачу Коши для операторов более широкого класса изучили С.Агмон и JI. Ниренберг [1]. Ими же были получены асимптотические формулы для решений экспоненциального роста. Такие же результаты были получены А. Пази [35] для уравнения, коэффициенты которого отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые.
Власов В.В. [17,18] рассмотрел корректную разрешимость начальнокраевых задач на полуоси для некоторых классов функциональнодифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, включающих в себя интегро-дифференциальные, а также дифференциально-разностные уравнения с операторными коэффициентами.
Дальнейшим шагом было изучение Р.Г. Алиевым в работах [3-7] абстрактных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами вида

D, u(t) -ZA (t)u(t - h (0) = ДО (1)
в гильбертовом пространстве, которые являются обобщением уже изученных уравнений с отклоняющимся аргументом. Были рассмотрены вопросы существования, единственности решения уравнения (1), устойчивость и асимптотическое поведение решений при t —>
Р. Чаном [40-42] было рассмотрено уравнение произвольного порядка
вида
я—1 т г л
АХ0-1ЖМ,(')]£>>('-*, -(0) = /(0, Р>
к =0 J=О

^ с2 ]|1и№ ж+^ ]|К(0£ Л

^ С2 ]|ИС Ж + С3 ]||“'йГх ^ ^ °°*
'2 '2
Отсюда и в силу условий г) и д) теоремы следует регулярность функции 2й.п (Я) для 1т Я >
2/Я

ж <
< с
2 Уг л
|е-г'М’4<
V» / 'о
Первый интеграл сходится, оценим второй интеграл.
](«-)■«**“> Иг-V *0
<'К“ег*||и’(/-Л1,-Л1,(г)|>2<

1 - Г <0 <2
в силу условий а) и д) теоремы.
При оценке слагаемого Я'ДЯ) также воспользуемся леммой о характеристической функции.