Методы теории топологической степени в задачах И.Г. Малкина-В.К. Мельникова для периодически возмущенных систем

• Автор: Макаренков, Олег Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 129 с.

1 Возмущения систем, у которых пересечение множества начальных условий Т-периодических решений и границы некоторого открытого множества и С М" конечно
1.1 Предварительные сведения
1.2 Связь функций Малкина и топологической степени оператора,
соответствующего задаче о Т-периодических решениях с начальными условиями в II
1.3 Теоремы о продолжении Т-периодических решений ИЗ и по
параметру
1.4 Сопоставление полученных результатов с имеющимися в
литературе
2 Возмущения систем, допускающих семейство Т-периодических решений, начальные условия которых заполняют границу некоторого открытого множества и С К”
2.1 Формула для вычисления топологической степени интегрального оператора, эквивалентного задаче о Т-периодических решениях с начальными условиями в11
2.2 Теоремы о продолжении Т-периодических решений из /У по
параметру
2.3 Модификация теоремы Борсука-Улама и новые свойства

периодических решений уравнения Дуффинга
2.4 Симметричные и вырожденные двумерные случаи
2.5 Сопоставление полученных результатов с имеющимися в литературе
3 Скорость сходимости полученных Т-периодических решений « при уменьшении амплитуды возмущения
3.1 Одна альтернатива для общего случая
3.2 Оценка скорости сходимости для случая, когда предельное Т-периодическое решение является простым циклом
3.3 Сопоставление полученных результатов с имеющимися в литературе
Список литературы

Топологическая степень дщп(Р, II) векторного поля Р : М" —> К" по отношению к открытому множеству и С К" в случае односвязного множества II, ограниченного положительно ориентированной жордановой кривой q, и п = 2 введена А. Пуанкаре и известна под названием индекса кривой <7 по отношению к полю Р (см. [43], Гл. 3). А. Пуанкаре использовал полученную характеристику для анализа существования, числа и типа особых точек двумерных автономных систем. К нему же восходит основная теорема теории топологической степени: если <1^2(Р, II) ф 0, то в II имеется особая точка поля А1 и свойство аддитивности топологической степени (первое основное свойство степени), именно, если и = и и и?, и САГШг = О, где 11, С М2 - открытые мнооюества, ограниченные полооюителыю ориентированными жордановыми кривыми, то 6^2 (Р, [/) = (^(.Р, Щ) + д^р^Р, ]ф) (см. [43], с. 38). Также А. Пуанкаре доказал, что если множество II содержит простую особую точку (простой нуль) поля А и достаточно мало, то |с?к2(Д £01 = 1 (в зависимости от того II) = 1 или 6^2(Р, и)
А. Пуанкаре делал выводы о типе особой точки), если же в этом малом множестве нет нулей поля Р, то дур (Т1, Л) = 0 (второе основное свойство степени) (см. [43], с. 39). Для случая произвольных открытого ограниченного множества и € К" и п е N конструкция топологической степени получена Л. Брауером [48], кто также сформулировал третье основное свойство топологической степени (принцип продолжения Брауера) о том, что степень д^(Р,11) остается постоянной, если область II и отображение

<**.(/, ^ПГ)^0, (1.82)
задача о существовании Т-периодических решений для (1.1) решена
А. Капетто, Ж. Мавеном и Ф. Занолином в [50]. Они установили ([50], следствие 1), что при условиях (1.81) и (1.82) справедлива формула
й{1 - <2о, IV) = (-1 )"<**.(/, Ж П К"), (1.83)
впервые полученная М. А. Красносельским и А. И. Перовым для общего случая неавтономной порождающей системы, см. [40] (с. 108) или [18]. В случае, когда решения системы (1.1) удовлетворяют условиям единственности и нелокальной продолжимости, формула (1.83) для частных случаев множеств установлена И. Берштейном и А. Халанаем [4].
Из (1.83) следует, что
ё(1 - де, ¥) = (-1)псЫ/, И' П Ж”) (1.84)
для любых достаточно малых е > 0. Следовательно, при условиях (1.81) и (1.82) система (1.1) имеет Т-периодическое решение в IV для любого Т-периодического по первой переменной возмущения д и любого достаточно малого е > 0. Заметим, что предположение (1.82) означает, что множество IV обязательно содержит постоянное решение порождающей системы (1.2).
В настоящей главе условие (1.81) не требуется, то есть резрешается, чтобы д¥ содержало неподвижные точки оператора <2о, и полученная формула
(1.48) теоремы 1.2 является обобщением формулы (1.84). Отметим, что
теорема 1.2 может гарантировать, что с1(1 — С2£, IV) ф 0 даже в случае, когда с?к»(/, IV П Ж") = 0, то есть без явного требования того, что множество IV содержит постоянное решение системы (1.2).
Второй член в правой части формулы (1.48) схож с аналогичным членом формулы Красносельского-Забрейко для подсчета индекса вырожденной неподвижной точки оператора фо на основе сужения этого оператора на