Усреднение в асимптотическом исследовании интегрируемых систем

• Автор: Верещагин, Вадим Леонтьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 234 с. : ил.

Оглавление
Введение
Часть 1. Интегрируемые дифференциально-разностные модели
Глава 1. Спектральная теория однофазных решений цепочки Ьоль-терра
1.1. Однофазные решения цепочки Вольтерра
1.2. Спектральная теория однофазных решений
Глава 2. Геометрия метода усреднения для дифференциально-рас ; ос них
систем
2.1. Локальные скобки Пуассона для гамильтоновых дифферент разностных систем. Законы сохранения
2.2. Процедура усреднения для разностных систем. Принцип со: я
ния гамильтоновости при усреднении
2.3. Построение переменных типа Клебша для уравнений медленных модуляций цепочек Тода и Вольтерра
2.4. Римановы инварианты для усредненных систем
Глава 3. Приложения метода Уизема
3.1. Автомодельные решения усредненной цепочки Вольтерра О
3.2. Автомодельные решения порядка 0 и гипотеза Гуревича-Пит аевского
Глава 4. Доказательство аналога гипотезы Гуревича-Питаевск; - дл я цепочки Вольтерра

4.1. Задача Коши для ступенеобразного начального условия и обратная задача рассеяния
4.2. Асимптотическое решение матричной задачи Римана
Часть 2. Применение метода усреднения к обыкновенным дифференциальным уравнениям типа Пенлеве и их разностным аналогам
Глава 5. Дискретный аналог первого уравнения Пенлеве (ДУП-1)
5.1. Асимптотическая классификация решений ДУП
5.2. Изомонодромный подход и регулярные решения
5.3. Квантование однозонных потенциалов
Глава 6. Глобальные асимптотики для четвертого трансцендента Пенлеве
6.1. Эллиптический анзатц и уравнение модуляций
6.2. Постановка задачи изомонодромного интегрирования
6.3. Нули четвертого трансцендента и сдвиг фазы
Глава 7. Квазиклассический подход к уравнениям Пенлеве
7.1. Идеология метода
7.2. Анзатцы для всех уравнений Пенлеве
Глава 8. Сингулярные решения третьего уравнения Пенлеве
8.1. Асимптотическое интегрирование в области конечных значений независимой переменной
8.2. Линейная задача и изомонодромные деформации
8.3. Распределение нулей и сдвиг фазы эллиптического анзатца
Приложение Основные выводы Список литературы
функции (точки ветвления соответствующей римановой поверхности) подчиняются особой системе дифференциальных уравнений (системе Уизема). Эта система уравнений модуляций выводится при помощи процедуры усреднения и описывает ’’медленный” дрейф точек ветвления. Простое масштабное преобразование приводит асимптотику к виду с е = 1 при п —* оо. В случае вещественного аргумента эллиптическая функция вырождается, что дает тригонометрические формулы для коэффициентов асимптотики сингулярного в бесконечности решения ДУП-1.
Глава 6 посвящена основной задаче асимптотического исследования уравнений Пенлеве - вычислению главного члена разложения при устремлении модуля независимой переменной в бесконечность. Объектом изучения в главе служит четвертое уравнение Пенлеве. В число методов работы снова входят теория изомонодромных деформаций, ВКБ и линейных спецфункций. В результате главный член асимптотического разложения четвертого трансцендента получается в виде модулированного эллиптического анзатца. Особого вычисления требует определение асимптотического распределения нулей четвертого трансцендента в окрестности бесконечно удаленной точки. Последнее позволяет оценить фазу эллиптического анзатца.
В параграфе 6.1 выводится эллиптический анзатц и соответствующее уравнение модуляций. С помощью переобозначения и
XV. г — х2 преобразуем Д в уравнение следующего вида:
3 о о л аь — 2га 1 /V а2 . „
_4в _2» = —+ (0.0.30)
Предположив его правую часть малой при г —> оо, получаем уравнение