Точные решения типа вихря Овсянникова дифференциальных уравнений газовой динамики при наличии гравитации

• Автор: Паршин, Даниил Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Содержание

Введение

Глава 1. Обзор методов исследования дифференциальных уравнений газовой динамики

1.1. Некоторые сведения из теории группового анализа дифференциальных уравнений

1.2. Вихрь Овсянникова как частично инвариантное решение дифференциальных уравнений газовой динамики

1.3. Неявные дифференциальные уравнения

Глава 2. Стационарный вихрь Овсянникова в поле массивного притягивающего центра

2.1. Описание модели и вывод уравнений для инвариантной подсистемы

2.2. Свойства решения инвариантной подсистемы

2.3. Асимптотика решения подсистемы при |ж| —> оо

2.4. Интерпретация решения
Глава 3. Стационарный вихрь Овсянникова с самогравитацией
3.1. Вывод уравнений модели
3.2. Свойства решения инвариантной подсистемы
3.3. Приведение инвариантной подсистемы к уравнению третьего порядка
3.4. Результаты численных расчетов
3.5. Частные случаи движения самогравитирующего политропного газа 57 Глава 4. Точное решение дифференциальных уравнений газовой динамики в поле постоянной гравитационной силы
4.1. Вывод уравнений подмодели
4.2. Свойства решения дифференциального уравнения инвариантной подсистемы
4.3. Поведение интегральных кривых ключевого уравнения при
|аз| —» оо
4.4. Характеристики и звуковая линия
4.5. Течения со стационарной ударной волной
4.6. Анализ ударной адиабаты
4.7. Описание течения при ударном переходе
Заключение
Перечень условных обозначений
Список литературы

Введение
Свойство симметрии присуще многим моделям механики сплошной среды и математической физики. Оно является их важной характеристикой. Эффективным подходом к аналитическому исследованию таких моделей с математической точки зрения является применение методов группового анализа дифференциальных уравнений [1]. Он является действенным инструментом построения и исследования точных решений уравнений газовой динамики [2]. В классических монографиях [3, 4, 5) рассмотрены отдельные точные решения уравнений газовой динамики, в том числе, обладающие определенными симметриями, однако получение подобных решений не было систематизировано. Академиком Л.В. Овсянниковым был предложен принципиально новый подход к исследованию решений системы уравнений газовой динамики. В программе ПОДМОДЕЛИ [б] сформулирована концепция наиболее общего теоретико-группового подхода к изучению дифференциальных уравнений с целью эффективного использования заложенных в них свойств симметрии.
Точные решения, обусловленные теоретико-групповыми свойствами уравнений газовой динамики, описывают конкретные физические процессы и являются основой для решения важных практических задач газовой динамики. Включение в дифференциальные уравнения газовой динамики силы гравитации позволяет расширить класс исследуемых явлений и описать новые классы точных решений. Наличие дополнительного слагаемого, отвечающего гравитационному потенциалу, в системе дифференциальных уравнений газовой динамики существенно усложняет исследование задачи.
Большинство известных аналитических результатов в этой области, как пра-

получаем для производной решения на ДК:
(2.26)
Выражение для "производной ДК"получается путем дифференцирования (2.15) по R:
Свойство 2.8. Существуют интегральные кривые, закапчивающиеся на ДК. Доказательство. Для а = — 1 это как и в предыдущем свойстве является следствием замкнутости области и монотонностью решения внутри П. Для случая а = 1 необходимо вычислить асимптотику отношения (2.21) к (2.22) приR —» +оо. Ввиду того, что искомое отношение имеет асимптотику В?/R*, где R, — const следует требуемое утверждение для верхней пары кривых. Для нижней пары ИК доказательство полностью аналогично.
Рассмотрим случай , когда /г,д > 0 и а — 1 (для случая а = — 1 вопрос поведения решения на бесконечности не актуален). Представим (2.14) в виде динамической системы:
Здесь и далее штрих обозначает производную по параметру т (при переходе от ОДУ (2.14) к динамической системе (2.28)), а Ь(В) = + I?2 — 1. При даль-
(2.28)
Л' = V2R.