Периодические решения квазилинейных гиперболических уравнений

• Автор: Рудаков, Игорь Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Б.м.
• Количество страниц: 223 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание
Введение
Глава 1. Квазилинейные уравнения с нелинейным слагаемым, удовлетворяющим условию нерезонансности

§ 1. Теоремы о существовании решений операторного

уравнения в гильбертовом пространстве

§ 2. Периодические решения нелинейного волнового уравнения.

Вынужденные колебания

§ 3. Периодические решения нелинейного волнового уравнения

с граничными условиями Неймана и Дирихле

§ 4. Периодические решения нелинейного волнового уравнения
с однородными граничными условиями 3-го рода
§ 5. Нелинейное волновое уравнение с непостоянными
коэффициентами
§ 6. Периодические решения квазилинейного волнового
уравнения с непостоянными коэффициентами и
граничными условиями 3-го рода
§ 7. Периодические решения многомерного квазилинейного волнового уравнения в шаре. Радиально-симметричные
решения
§ 8. Квазилинейное эллиптическое уравнение

Глава 2. Периодические решения волнового уравнения с нелинейным слагаемым, имеющим степенной рост
§ 1. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями
3-го рода и Дирихле
§ 2. Вынужденные колебания неоднородной струны,
с нелинейным слагаемым, имеющим степенной рост
§ 3. Периодическое решение нелинейного телеграфного уравнения
Глава 3. Свободные колебания. Нетривиальные периодические решения 160 § 1. Нетривиальное периодическое решение квазилинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями
1-го и 3-го рода
§ 2. Свободные колебания струны с закрепленными концами
§ 3. Гиперболические уравнения четвертого порядка
§ 4. Периодические колебания балки
Приложение
Список публикаций автора
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ.
Во многих физических задачах, связанных с процессами колебаний, возникают квазилинейные уравнения гиперболического типа. При-
ведём примеры некоторых одномерных гиперболических уравнений, исследующихся в диссертации:
ии - ихх + д(хи) = /ОМ), X е [0,7г],£ е К; (0.1)
р(х)ии — {р(х)их)х + д(х,1,и) = / (ж,£), ж € [0,7г],£ € К; (0.2)
Щъ - ихххх + д{хЛ, и) = /(ж,), х Е [0,7г],г Е И. (0.3)
Приведённые выше уравнения описывают процесс колебания струны ((0.1)), продольные ((0.1)) или поперечные ((0.3)) колебания стержня, распространение волн в неизотропной среде (сейсмические волны) ((0.2)), процесс распространения электромагнитных волн и другие. Процессы колебаний мембраны, плоской пластины, идеального газа в некотором объеме (уравнение акустики) описываются многомерными волновыми уравнениями, которые также рассмотрены в диссертации.
Если внешняя сила / и нелинейное слагаемое д периодичны по времени с периодом Т, то естественным образом возникает задача о доказательстве существования Т- периодических по времени решений. Работы 60-х годов прошлого века авторов О. УеткЗа, Н. 1лшсагоуа,
Р. Лабточуг [29],[30], [88]-[90] являются одними из первых, в которых исследуется задача о существовании периодического по времени решения слабо нелинейного волнового уравнения
(0.4)
с нулевыми граничными условиями Дирихле на отрезке
и(0,г) = и( 7гД) = 0. (0.5)

Bi(u) = Pi В (и), Я3:|§) = P3B(u),u = щ + ti3,/i + /з =
При фиксированном щ 6 N3 обозначим Su.3 : N —* N оператор, действующий по формуле
SuAv) = £v + -®i(u + из) Vv е TVi.
Возьмем произвольные v,w £ АГ1- Воспользовавшись монотонностью В и ортогональностью iVi и Агз получим
(и - w, SU3(v) - SU3(w))) = t||» - ?i|j2 + (v - w,B(v + u3) - B(w + u3))
= e\u — r|j2 + (v + Из - w - щ B(v + u3) — B(w + u3)) > e\u - t’lj2. Следовательно, SU3 является сильно монотонным оператором. Поэтому при каждом фиксированном и3 £ N3 уравнение (1.11) имеет единственное решение щ — ii[ (ч.;;). Докажем, что оператор
hi ’ Л3 у N1 («3«i(u3))
непрерывен в Н. Возьмем последовательность {м3п} С N3 такую, что изп —1 «з в Я. Покажем, что ui(«3„) —> иДиз) в Я. Обозначим и1п = ui(u3„), U[ = щ(и3). Имеем
£И1п + ЯДиы + и3п) = /1,
си-. ! ЯД«; г из) -- /: (1-13)
Вычтем из первого равенства второе, разность умножим скалярно в Н на щп — щ и воспользуемся монотонностью В :
О = £ || и1п - их [|г +{В(щ„ + и3п) - В(иг +«3),«1П + «3п - И] - и3) — (В(щп + в|а) - В(щ + и3), и3п - и3) >
£ II и1п - щ li2 +(В(и1п + Из„) - Я(И! + Из), и3„ - Из) >
> £ II щп-щ II2 -(II В(и1п+и3п) II + Ц B(m+U3) II)- II и3п-и3 II . (1.14)