Управляемость систем обыкновенных дифференциальных уравнений в условиях неопределенности

• Автор: Глухова, Наталья Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 117 с. : ил

Оглавление
Введение.

Глава I. Оптимизация критерия качества во внутренних точках 17 выпуклых множеств.

§1. Необходимые и достаточные условия оптимальности 17 управления.

§2. Частные случаи условий оптимальности для некоторых 27 видов функционалов.

Глава II. Решение задачи оптимизации для точек выпуклого мно- 40 гогранника.

§1. Схема поиска оптимального управления для выпуклых 40 многогранников.

§2. Минимизация радиуса конечной окрестности для линей- 64 ных систем.

Глава III. Задача оптимизации для систем с неизвестным видом 74 общего решения.

§ 1. Постановка задачи. Общий вид решения нелинейной сис- 74 темы.

§2. Критерий оптимальности для точек границы множества 82 допустимых управлений
§3. О необходимых условиях существования оптимальных 92 управлений внутри множества С.
Заключение.
Приложение.
Литература.
Введение.
Актуальность темы. В настоящей работе изучаются управляемые системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для таких систем ставится задача управления в условиях неопределенности. Целью исследования является поиск среди допустимых программных управлений оптимального, являющегося таковым для всех движений рассматриваемой системы.
Необходимость решения данной задачи возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, социально-экономических и других процессов [5,11,12,18,30,59,62,63,81,84,86,91], так как большое число реальных процессов описывается системами дифференциальных уравнений, содержащими управляющий параметр. Например, в системе “хищник-жертва” в качестве управляющего воздействия можно рассматривать изъятие особей, при описании химических реакций - количество катализатора. Особый интерес представляют методы исследования нелинейных систем, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями высокого порядка, поскольку именно такие модели характерны для большинства реальных объектов. При этом возникает задача об управляемости системы, причем зачастую одновременно требуется оптимизировать некоторый критерий качества.
Предмет теории оптимальных процессов известен широко. Принципиальные ее положения, касающиеся математической стороны вопроса, -фундаментальный принцип максимума Л.С. Понтрягина и необходимые условия оптимальности, теория линейных систем, основы метода динамического программирования [10,29,56], - приобрели характер классических результатов. Существенный вклад в теорию управления внесли Р. Калман,
H.H. Красовский, В.И. Зубов, Р. Беллман, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелид-зе, А.Б. Куржанский. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Р.Ф. Габасова, Ф.М. Кирилловой, Е.Л. Тонкова [16,23,70,71].

Хотя математические постановки задач программного управления стимулировались практическими потребностями, классические их варианты были рассчитаны на идеальные условия, а именно, на существование безупречной по строгости математической модели системы и на полную априорную информацию об исходных данных. Однако далеко не каждая прикладная задача управления укладывается в подобные классические рамки. Неполнота исходных данных приводит к так называемым информационным задачам.
Весьма распространенной при исследовании математической модели является ситуация, когда априорные данные о неизвестных параметрах системы минимальны: какое-либо статистическое их описание отсутствует, а соответствующая информация ограничивается заданием лишь допустимых областей изменения неизвестных величин. Изучение ситуаций, характеризующихся указанными информационными ограничениями, приводит к теории управления в условиях неопределенности. Такие задачи носят весьма общий характер.
Решение задачи поиска оптимального управления в условиях неопределенности проводится в работе [37]. Оно осуществляется в рамках детерминированного подхода, основанного на методах минимакса. Однако полученная теория относится сугубо к системам, линейным как по фазовым переменным, так и по управлению. В связи с этим целесообразно рассмотреть поставленную задачу для нелинейных систем, которые наиболее часто встречаются при описании реальных объектов.
Следует заметить, что применение элементов выпуклого анализа, например, поиск выпуклой оболочки функции, верхней огибающей и т. п., само по себе является нетривиальной задачей. Поэтому представляют интерес методы, позволяющие получить ответ на вопрос об оптимальности управления без использования подобных конструкций.
Изложенные факты позволяют считать тему диссертации актуальной.
Глава 1
учетом изложенного, поиск оптимального управления осуществляется по следующей схеме:
1. Для всех точек с0 eintC определяется множество X с0))).
2. Находятся множества X *(^(х(г;л:0>с0)))пЛг
f)x *((р(х(Т;х°,сп + ЛЛ))), П* *(<р(х(т;х0,с0 + Як))) для каждого зна-
Ае[0;1] Ле/7(с°),Аб[0;1]
чения допустимого управления.
3. С помощью следствия 1.1 и теорем 1.4 - 1.8 определяются подозрительные на экстремум точки.
4. Для найденных значений управления проверяются условия теорем
1.2, 1.3, 1.9. Каждая точка, удовлетворяющая этим условиям, определяет локальный минимум функции Ф(с).
5. Непосредственными вычислениями из найденных точек выбирается точка, являющаяся точкой минимума для всего множества int С. Соответствующее управление решает поставленную задачу.
Пример 1.2. Рассмотрим движение материальной точки массы m по горизонтальной прямой под действием силы тяги, играющей роль управления. Соответствующее уравнение имеет вид mx = F .
Введем замену переменных и = — и перейдем к системе в нормальной

X — X
форме 1 2’ где х, - координата вектора положения, х2 - координата
х2=ч,
вектора скорости. Систему рассмотрим на отрезке времени [0;Г], Т -известное число.
Управление будем искать в виде u(t)=K(t)c, где K(t) = (t l),ceC - выпуклый компакт, который определяется следующим образом
С =|(с,,с2)т j|c,|0 - заданные числа.
Тогда исходная система записывается в виде