Стабилизация решений смешанной задачи для параболических уравнений высокого порядка

• Автор: Биккулов, Ильгиз Мидехатович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 96 с.

§ 1. Некоторые вспомогательные предложения

§ 2. Существование и единственность решения параболического уравнения высокого порядка

§ 3. Оценка сверху решения для уравнения 4-го порядка

§ 4. Оценка снизу решения для уравнения 4-го порядка

§ 5. Оценка скорости стабилизации решения уравнения

6-го порядка

Литература

Диссертация посвящена изучению стабилизации нормы решения смешанной задачи для линейных параболических уравнений четвертого и шестого порядков в цилиндрической области £> = {£> 0} X Г2, где — произвольная неограниченная область пространства Яп, п > 2. Рассматривается зависимость поведения нормы решения этой задачи при больших значениях времени ^ от геометрии неограниченной по пространственным переменным области О, лежащей в основании цилиндра.
Проблеме изучения поведения при больших временах решений задачи Коши и смешанных задач для уравнений и систем линейных (и нелинейных) эволюционных уравнений посвящено очень большое число работ. Данная проблема ввиду многообразия свойств эволюционных систем имеет много аспектов. Важной является задача определения значений параметров нелинейной системы, при которых решение задачи Коши существует в целом по времени (т.е. при всех £ > 0), или, наоборот, взрывается (см. обзоры в работах [10], [21]). В тех же случаях, когда решение заведомо существует в целом, возникает задача изучения асимптотического поведения решения задачи Коши при больших временах. Этому направлению посвящены работы [43 - 46], [59], [60] и ряд других. В случае задачи Коши для линейного параболического уравнения второго порядка с несуммируемой
и неограниченной начальной функцией много работ посвящено исследованию условий на нее, обеспечивающих стабилизацию решения ([16], [20],
[45], [46], [62]. Основная часть их касается скалярного уравнения
щ — div (A(t, x)Vu). (0.1)
Здесь A(t, х) — симметрическая матрица размера п х п, ее элементами являются измеримые функции a,ij(t, х), i,j = 1, п, удовлетворяющие условию
vy2 < X! аФ’х)УгУ] ^ уу2’ У>1’ (°-2)
для любого вектора у = (yi,y2, , Уп) € Rn и почти всех (t, х) £ D. Задача
о критерии равномерной стабилизации решения задачи Коши в предположении ограниченности начальной функции решена в работах В.В.Жикова [20] и S.Kamin [62]. А именно, в этих работах установлено, что необходимым и достаточным условием равномерной стабилизации к нулю решения задачи Коши
u(t, х) -» 0 при t —> со равномерно по г £ Rn,
является равномерное стремление к нулю шарового среднего от начальной функции
r~n J 0 при г —> оо равномерно по х £ Rn-
у-х<г
Аналогичный критерий в неограниченной области для второй смешанной задачи был получен А.К. Гущиным, В.П. Михайловым, Ю.А. Михайловым [14, 15], и для первой смешанной задачи — Ф.Х. Мукминовым [38].
Поведение решения задачи Коши для уравнения (0.1) с суммируемой начальной функцией хорошо известно [66]
u(t,x)| < Ci *”“|MUi(fi) Для всех (*>гс) е
по базису (рг пространства Яд (Г2) :
V (*, х) = ^ ф (г) щ (х), (2.47)

где
ф (<) = (V, ¥>{)я*(П) • (2-48)
Ввиду непрерывности скалярного произведения, равенство (2.48) можно продифференцировать по Ь.
—ф (I) = («<, у?)яз (П) ,
а так как функция г; бесконечно дифференцируема, то ф также бесконечно дифференцируемы, и, поскольку V (Т, х) = 0, то и ф(Т) = 0.
Сходимость ряда (2.47) означает:
)|и(г) - ^(^Ця^п) ->• о, ||^(0 - ^(г)Иядп) < ||^<(^)||яз(п)1 V* е [о, т,
т т
\у - г^Няьзрг, = J ||«(0 - »ЛОНяДО)* + I 1М0 “ »ГЧОНад* °-
о о
По теореме Лебега об ограниченной сходимости под знаком интеграла
возможен предельный переход.
Таким образом, доказана сходимость Vм -> V в Яд3 (Я7) , а значит и
доказано существование обобщенного решения смешанной задачи (2.29),
(2.30), (2.3).
Обобщенным решением задачи (2.29), (2.30), (2.3) в Я будем называть функцию и{Ь,х) совпадающую в общей области определения с решением задачи в Яг при всех Т > 0.
Для доказательства единственности решения задачи (2.29), (2.30), (2.3) установим справедливость следующих леммы 5 и предложения 2.