Задачи на собственные значения для операторов смешанного типа с двумя линиями степенного вырождения и применения

• Автор: Чиганова, Наталья Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 101 с.

Глава 1. Задача на собственные значения для оператора смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения

§1.1. Постановка спектральной задачи Т

§1.2. Построение многообразия частных решений уравнения смешанного типа в эллиптической части
§1.3. Построение многообразия частных решений уравнения смешанного типа в гиперболической части

§1.4. Построение собственных значений и собственных функций

в смешанной области

§1.5. Исследование собственных функций на полноту в смешанной

области
Глава 2. Задачи на собственные значения для оператора смешанного типа с негладкой линией вырождения

§2.1. Постановка спектральной задачи Тх и

построение собственных функций

§2.2. Исследование на полноту в Гг системы собственных
функций задачи Тх
§2.3. Постановка спектральной задачи Г2л и
построение собственных функций

§2.4. Исследование на полноту в системы собственных
функций задачи Тгд
Глава 3. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с негладкой линией степенного вырождения
§3.1. Задача Т
§3.2. Задача Т2
§3.3. Задача ТЫ
§3.4. Задача ТЛ^
Литература

Уравнения смешанного типа встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера. Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [55, 56] и С. Геллерстедта [70], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Они изучали задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как "задача Трикоми" и "задача Геллерстедта".
В 50 - е годы XX столетия в работах Ф.И. Франкля [58], A.B. Бицад-зе [4, 5] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. В дальнейшем эти краевые задачи изучались многими авторами как в нашей стране (В.Ф. Волкодавов, В.Н. Врагов, В.И. Жегалов, Т.Д. Джура-ев, Т.Ш. Кальменов, А.И. Кожанов, Е.И. Моисеев, А.М. Нахушев, С.М Пономарев, С.П. Пулькин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов,
А.П. Солдатов, Л.И. Чибрикова, P.C. Хайруллин, Вагапов В.З., O.A. Репин и другие), так и за рубежом (S.Agmon, L.Nirenberg, M.N.Protter, C.S.Morawetz, P.Germain, R.Bader, P.O. Lax, R.P. Phillips, M. Schneider, Г.Д. Каратопракли-ев, Г.Д. Дачев, Н.И. Поливанов и другие). Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях A.B. Бицадзе [5, 6], JI. Берса [3], К.Г. Гудерлея [И], М.М. Смирнова [50] - [52], М.С. Сала-хитдинова [45], Т.Д. Джураева [13], Моисеева Е.И. [31].
Вместе с тем краевые задачи для уравнения смешанного типа с несколь-

= J rJ2pkl (r) Gkl (r) dr = 0, (2.31)

тг/2
Gkl (r) = r2q J G(r, ф) sm2q фFkl (cos ф) йф,

G(r, ф) = g((ar)lla cos1//a ф, (or)1/“ sin1/“ ф).
Из равенства (2.31) следует, что для функции Gkl(r) все коэффициенты ряда Фурье - Бесселя равны нулю, поэтому по теореме Юнга [8] имеем
Gkl (г) = 0, к € N, если интеграл / fr |(?jfej(r)| dr существует и абсолютно

сходится. В самом деле, используя несколько раз неравенство Коши - Буня-ковского, имеем

J V~r Gkl(r) dr <

1 1 тт/2 2
< 1 rAq+1dr ■ [ J J / G(r, ф) sin2<2 ipFkl (cos ф) d'tp J dr <
0 0 0
7t/2 n 1 2 1 тг/2 Г г
0 0
= Cv || д \l2(g+)< +оо, Ci = const > 0,
поэтому
тг/2
J G(r, ф) sin29 (cos ф)dф = 0 о
для всех k — 1,2,... при любом г € (0,1). В силу леммы 2.3 имеем, что почти для всех г € [0, 1], ф £ [0, 7г/2] функция G(r. ф) — 0, следовательно, д(х,у) = 0 почти всюду в области G+.
Теорема 2.3. Система функций (2.8), (2.9) спектральной задачи Тх не