Некоторые интегральные тождества математической физики и их приложения

• Автор: Кутрунова, Зоя Станиславовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Тюмень
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Введение (содержание и обзор)
1.Кватернионный аналог теории потенциала
1.1.Кватернионные аналитические функции
1.2 .Интегральное представление кватернионных аналитических
функций (аналоги интегралов Коши и типа Коши)
2. Общий подход к построению интегральных тождеств
2.1. Тождества в кватернионной теории потенциала
2.2. Интегральные тождества, следующие из классической теории потенциала
2.3. Интегральные тождества для уравнений теории упругости
2.4. Операция антикоммутирования для кватернионных операторов потенциалов двойного и простого слоев и её приложение
3. Применение тождеств для исследования спектральных свойств
некоторых операторов и явное построение регуляризаторов
3.1 Спектральные свойства некоторых интегральных операторов, вытекающие из тождеств кватернионной теории потенциала
3.2. Тождества классической теории потенциала
и спектральные свойства операторов
3.3. Тождества для обобщённых потенциалов теории упругости
и спектры соответствующих операторов
4. Применение техники кватернионов к построению новых
интегральных уравнений
4.1. Конструирование интегральных уравнений для восстановления векторного поля по известным ротору и дивергенции
4.2. Получение новых интегральных уравнений теории упругости
Заключение
Список работ автора
Литература
В настоящее время, как в фундаментальных, так и в прикладных вопросах появляется значительный интерес к применению в исследованиях кватернионных функций. Благодаря им, удается получать результаты, которые сложно или нельзя получить другим путем. Используются и более сложные подходы на основе теории функций многих комплексных переменных. В этой связи представленная работа посвящена актуальному вопросу исследования известных, а также построения и исследования новых интегральных тождеств, получающихся в теории кватернионных аналитических функций, теории гармонических функций и теории упругости.
На основе кватернионных интегральных представлений Коши и типа Коши стоятся граничные интегральные тождества [72,73], которые применяются для исследования спектров операторов в них входящих. Опираясь на эти результаты, в данной работе получена группа граничных интегральных тождеств для гармонических функций, [78,79]. Используя тождества, новым способом установлено соответствие спектров операторов потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя, а также найдены операторы пересчета собственных функций операторов потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя. Исследованы спектры композиций операторов потенциала простого слоя и нормальной производной потенциала двойного слоя, [79].
Используя кватернионные тождества, [72,73], классическая задача по восстановлению векторного поля по известным ротору и дивергенции сведена к двум граничным сингулярным интегральным уравнениям. В них содержится произвольный постоянный вектор. Из этих уравнений находится не потенциал, как обычно, а непосредственно граничное значение искомой функции. Поэтому представление решения в области не требует операций численного дифференцирования, [75,76].
Изучение интегральных уравнений теории упругости (уравнений Ламе) в данной работе начинается с их представления в кватернионной форме.
Применяя к ним методику решения кватернионного уравнения, построены граничные сингулярные интегральные тождества, [77,80,81,82]. Эти тождества связывают на границе дивергенцию и ротор вектора перемещений. В отличие от кватернионного уравнения Лапласа уравнения Ламе удалось проинтегрировать только один раз. Эти интегральные тождества могут быть полезны при решении задач геофизики и сейсморазведки, [136,137].
Перенесение метода интегральных представлений из теории кватернионных аналитических функций позволило нам предложить общий подход к построению граничных интегральных тождеств для гармонических функций и для функций, которые являются решением уравнений Ламе. Отметим, что все рассматриваемые выше уравнения относятся к эллиптическим уравнениям не более чем с постоянными коэффициентами. Фундаментальные решения таких уравнений, используемые для интегральных представлений, известны. Более общее преставление, называемое методом параметрикса, [123,124], связано с построением параметрикса для эллиптических уравнений с переменными коэффициентами, обладающими определенными свойствами гладкости. В данной работе этот общий подход, естественно, не используется. Однако в настоящее время он активно развивается, например, в работах [88,89,90,141,142]. Не используется здесь и интегральное представление Мартинелли-Бохнера, так как не используются функции многих комплексных переменных, но применяются кватернионные аналитические функции. По-видимому, было бы интересно пересмотреть все полученные интегральные представления, увидеть аналогии и возможные пресечения. В настоящее время приложения интегрального представления Мартинелли-Бохнера представлены, например, в работах [88,89,90].
Опираясь на результаты теории кватернионных аналитических функций, в работе получено антикоммутирование кватернионных потенциалов простого и двойного слоев. Отметим, что потенциал простого слоя используемый здесь, записан иначе, чем в классической литературе, так как в подынтегральном выражении содержит нормаль, [84,85,86]. К кватернионному оператору
она представима через своё граничное значение УуГ с помощью аналога интеграла Коши:
(2.34)
Далее будем опускать переменные дифференцирования и интегрирования, если это не вызывает неясностей. В общем случае, внешняя нормаль восстанавливается в точке х, интегрирование происходит по переменной х, производные под интегралом вычисляются по той же переменной, а результат интегрирования есть функция от у. Для точек у є О* можно вынести оператор Гамильтона из под интеграла, перенести всё в левую часть. Учитывая, что УД1/г) = -УД1/г), получим:
Снова получилось, что выражение в скобках является кватернионной аналитической функцией и можно «проинтегрировать» ещё раз:
Переходя к пределу, и используя прямое значение оператора А, из соотношений (2.34) и (2.35) можно получить граничные равенства:
^(2.36)
!» + »?(/* «Ду+ №*/*)
При интегрировании уравнения Лапласа в области О" получаются следующие тождества:
у/ + — |-иУ^+б/5 = — ГУ-« у/+— Г-иУ^Я «К
4 л "г 4 я • г 4тг * г
(2.35)