Формулы представления решений систем уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной и двумя сингульярными линиями

• Автор: Орипов, Турдикул Сафарович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Место защиты: Б.м.
• Количество страниц: 118 с.

§ 1 Некоторые предварительные сведения из теории дифференциальных уравнений

1.1. Теорема существования решений обыкновенного дифференциального уравнения

1.2. Теорема существования для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
§ 2 Полный дифференциал первого порядка и соответствующая переопределенная система дифференциальных уравнений

2.1. Полный дифференциал функции двух независимых переменных

2.2. Системы уравнений в полных дифференциалах первого порядка с одной искомой функцией от двух независимых переменных

§ 3 Классический полный дифференциал второго порядка

3.1. Определения

§ 4 Система уравнении в полных дифференциалах второго порядка

4.1. Система трех уравнений в полных дифференциалах второго порядка

4.2. Система двух уравнений первого типа

4.3. Система двух уравнений второго типа

§ 5 Системы в полных дифференциалах второго порядка с одной сингулярной линией
5.1. Системы трех уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной сингулярной линией
5.4. Системы двух уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной сингулярной линией § 6 Системы в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями
6.1. Система трех уравнений в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями
6.2. Системы двух уравнений в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями
Литература
Актуальность темы. Квазилинейные переопределенные системы уравнений в частных производных с одной искомой функцией, включая системы в полных дифференциалах (п.д.-системы), изучались в трудах Якоби, Фробениу-са, Гурса, а также И.В. Гайшун (Минск) и других.
В Таджикистане исследования по переопределенным системам были начаты Л.Г. Михайловым в 1971 г., о чем можно судить по его монографии «Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями» изд. Дониш, Душанбе 1986 г.
Л.Г. Михайловым была развернута еще и другая научная подпроблема: переопределенные системы с сингулярными точками и линиями, в работе над которой за 15-30 лет была создана достаточно крупная научная школа. Определенные результаты в данной области получены Л.Г. Михайловым, Н. Раджабо-вым, Э. Мухамадиевым, Э. Рузметовым и их учениками A.C. Сатаровым, Р. Пи-ровым, Б. Шариповым, М. Холовым, Р. Сайдуллаевой и другими. В работах А.И. Перова, В.Г. Задоржнова, Ф.Н. Назарова в многомерном пространстве рассмотрены уравнения в полных дифференциалах первого порядка.
Получению многообразия решений и исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка, некоторых линейных переопределенных систем первого и второго порядка с одной и с двумя сверхсингулярными линиями и точками посвящена монография академика АН PT Н. Раджабова: «Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами» (Душанбе, 1992 г., 236 с.), в которой методы, разработанные им для гиперболических уравнений и гиперболических систем с сингулярными коэффициентами, распространяются для гиперболических уравнений и систем со сверхсингулярными коэффициентами. В 1994 году в монографии Э. Рузметова

по (х) степени /?.
Заметим, что решения вида (5.4.7) и (5.4.8) в близи сингулярной линии х=х0 непрерывны.
Теорема 5.4.1. Пусть в системе (5.4.1) а-1,/?>0, а(х,у),Ь(х,у) заданные функции класса С1 (Я)
Для совместности системы (5.4.1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (5.4.3) всюду в области Я, за исключением точек линии х=хо- Тогда любое решение системы (5.4.1) из класса функций, имеющих в Я щ непрерывные смешанные частные производные третьего порядка представимо в
виде (5.4.7) или (5.4.8), непрерывное во всей Я.
Задача 5.4.1. Требуется найти решение системы (5.4.1) а = 1, /7 > 0 из
класса функций, имеющих в Я непрерывные смешанные частные производные третьего порядка, удовлетворяющее условиям:
Шу) = №, ихт = (5.4.10)
где /| (у) - заданная дифференцируемая на отрезке 0 < у < у0 функция,
Л/ - заданное действительное число.
Решение задачи 5.4.1. Для решения задачи (5.4.1), используя интегральное представление (5.4.7) и (5.4.10), будем иметь:
Ф) = А(у),С = Н1 (5.4.11)
^ Теорема 5.4.2. Пусть коэффициенты системы (5.4.1) удовлетворяют условиям теоремы (5.4.1) и /Ду)- заданная дифференцируемая на отрезке 0 < у < у0 функция, И; - заданное действительное число. Тогда единственное решение задачи (5.4.1) дается формулой (5.4.7), где /Ду), С - определяются равенствами (5.4.11).
II. Случай, когда а = 2, /3 > 0.
В этом случае тем же способом интегрируя уравнение (5.4.2)ь будем иметь: