Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости

• Автор: Воробьева, Екатерина Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 74 с. : ил.

Введение.
СОДЕРЖАНИЕ.

Глава I. Общая граничная задача для гиперболической системы
на плоскости
§1.1. Начально-характеристическая задача.
Функции Римана первого и второго рода
§ 1.2. Обобщенная формула Римана
§1.3. Канонические отображения области Г)
§ 1.4. Критерий разрешимости граничной задачи
Глава II. Решение смешанной задачи методом интегральных
уравнений
§2.1. Смешанная задача в четвертьплоскости
§2.2. Смешанная задача в полосе
Глава III. Исследование устойчивости решений задачи Коши с использованием оператора сдвига вдоль
характеристик
§3.1. Оператор сдвига вдоль характеристик
§3.2. Приведение гиперболической системы к обыкновенному дифференциальному уравнению в гильбертовом пространстве
с сильно непрерывным операторным коэффициентом
§3.3. Достаточный признак экспоненциальной устойчивости
Дополнение. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти
линейной гиперболической системы на плоскости
Приложение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ,
1. Имеется класс задач механики, физики, теории упругости, газовой динамики, химической кинетики, приводящих к краевым задачам для гиперболических уравнений на плоскости. Начиная с 50-х годов, этой проблематике посвящено большое число работ, исследованы вопросы существования и единственности решений в различных функциональных пространствах, повышения гладкости решений, устойчивости и
экспоненциальной дихотомии в различных классах коэффициентов, асимптотика, проблема усреднения; получены приложения к указанным областям [1-65].
2. В работах Р.К. Романовского [66-71] исследована задача Коши для линейной гиперболической системы с кратными характеристиками:
[Ь(и) = — + Л(х)— + В(х)и = fix'), x = (s, t) е И2, j W dt ds W W V ' (0.1)
[h(s, 0) = й(«), set.
Здесь f h - гладкие функции со значениями в С,
В:2 BseC(r2),
jA = diag{al(x)lI
I Ik — единичная матрица порядка Nk, 2Nk = N.
Предполагается
< const, (0.3)
тогда проходящие через каждую точку х = (s, t) характеристики
k{x) = {(<7,r):o- = sk(T,x), s'kr=ak(sk,T), «t(f,x) = s}, (0.4)
k = l
Исходным отправным пунктом исследования является распространение известного метода Римана решения задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка [72] на системы (0.1).

В [66, 67] построено явное представление решений задачи Коши (0.1), Ядрами интегральной формулы служат матрицы-функции двух типов
Uk(x,y) (k = l
названные автором функциями Римана соответственно первого и второго рода. Матрица Uk (х, у) имеет порядок Nt, определена на парах точек (х, у), лежащих на одной и той же характеристике с номером к, и является как функция от х при фиксированной у разрешающей матрицей вспомогательной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (уравнений переноса вдоль характеристики qk (у) ). Матрица F(x, у) имеет порядок N, определена на парах точек, не лежащих на одной характеристике, и является как функция от х при фиксированной у кусочно-гладким матричным решением системы £(н) = 0 со скачками на характеристиках, строящимся по Uk. Фундаментальным свойством матриц (0.5), на котором основаны их применения, является свойство двойственности: матрица Uk как функция от у является разрешающей матрицей двойственной системы уравнений переноса вдоль qk (х); матрица V как функция оту является решением двойственной характеристической задачи со скачками на q1(x)
3. Основным содержанием диссертационной работы является распространение метода Римана на другие краевые задачи для гиперболических систем на плоскости на основе аппарата функций Римана (0.5) (главы I, II работы). Развитый в работе общий подход к решению краевых задач может быть охарактеризован как метод интегральных уравнений: решение краевой задачи приводится к решению системы интегральных уравнений на границе. После решения этой системы решение краевой задачи находится по обобщенной формуле Римана. Вторая часть работы (глава III, дополнение) посвящена исследованию устойчивости решений задачи Коши (0.1) и смешанной задачи методом функционалов Ляпунова. В построениях главы III существенную роль играет оператор сдвига вдоль характерстик системы, введенный в §3.1. Получено приложение к задаче химической кинетики.
Для удобства ссылок в §1.1 приведены строгие определения и основные свойства матриц (0.5) из работ [66, 67]. Далее во введении, во избежание дублирования, предполагаются известными сведения из §1.1.

Учтено, в частности, что
Ал(*) = О, £>*&(*) = 0.
Ввиду очевидной формулы
В(х)= Е %М’

где в 0 - матрицы (1.10), имеем
В(х)11к(х,ук) = '£'В(х)ик(х,ук). (1.51)

Далее, с учетом формул (1.44), (1.13) для И, и скачков и
очевидной формулы
= 2>/Ы/}. и?
где <р,(х) - функции (1.33), получим:
ъ м=е а;(х)7*(у' % м (*, л) т4 т Ей и) з=
Ч (*)-«,(*) м
к(х)ик(х,ук) »
5 л« ?,ы"
откуда
**М=-Е®л(*)И*(*>л) (]-52)

(учтено, что 11к=икРк, РкЦ = 0 при 1Фк, Рк =Рк). Подставляя (1.51), (1.52) в (1.50) и учитывая, что
£,[>(х,.у)] = 0, (1.53)
получим